Die vierte Dimension

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RUDOLF STEINER GESAMTAUSG ABE 

VORTRAGE 

VORTRAGE UBER NATURWISSENSCHAFT 



RUDOLF STEINER 

Die vierte Dimension 

Mathematik und Wirklichkeit 

Horernotizen von Vortragen iiber den 
mehrdimensionalen Raum und von 
Fragenbeantwortungen zu mathematischen Themen 

Sechs zusammenhangende Vortrage, 
gehalten in Berlin vom 24. Marz bis 7. Juni 1905. 
Zwei Einzelvortrage in Berlin 
vom 7. November 1905 und 22. Oktober 1908. 
Fragenbeantwortungen von 1904 bis 1922 



1995 



RUDOLF STEINER VERLAG 
DORNACH / SCHWEIZ 



Nach vom Vortragenden nicht durchgesehenen Nachschriften 
und Horernotizen, herausgegeben 
von der Rudolf Steiner-Nachlaftverwaltung 

Die Herausgabe besorgte Renatus Ziegler 
unter Mitarbeit von Ulla Trapp 



1. Auflage Gesamtausgabe Dornach 1995 

Nachweis friiherer Veroffentlichungen 
siehe zu Beginn der Hinweise S. 228f. 



Bibliographie-Nr. 324a 

Figuren im Text von Renatus Ziegler nach Skizzen in den Nachschriften 

Alle Rechte bei der Rudolf Steiner-Nachlafiverwaltung, Dornach/Schweiz 
© 1995 by Rudolf Steiner-Nachlafiverwaltung, Dornach/Schweiz 
Satz: Rudolf Steiner Verlag / Bindung: Spinner GmbH, Ottersweier 
Printed in Germany by Konkordia Druck, Buhl/Baden 

ISBN 3-7274-3245-4 



Zu den Veroffentlichungen 
aus dem Vortragswerk von Rudolf Steiner 



Die Gesamtausgabe der Werke Rudolf Steiners (1861-1925) glie- 
dert sich in die drei grofien Abteilungen: Schriften - Vortrage - 
Kiinstlerisches Werk (siehe die Ubersicht am Schlufi des Bandes). 

Von den in den Jahren 1900 bis 1924 sowohl offentlich wie fur 
die Mitglieder der Theosophischen, spater Anthroposophischen 
Gesellschaft zahlreichen frei gehaltenen Vortragen und Kursen 
hatte Rudolf Steiner urspriinglich nicht gewollt, daft sie schriftlich 
festgehalten wiirden, da sie von ihm als «miindliche, nicht zum 
Druck bestimmte Mitteilungen» gedacht waren. Nachdem aber 
zunehmend unvollstandige und fehlerhafte Horernachschriften 
angefertigt und verbreitet wurden, sah er sich veranlafit, das 
Nachschreiben zu regeln. Mit dieser Aufgabe betraute er Marie 
Steiner-von Sivers. Ihr oblag die Bestimmung der Stenographie- 
renden, die Verwaltung der Nachschriften und die fur die Heraus- 
gabe notwendige Durchsicht der Texte. Da Rudolf Steiner aus 
Zeitmangel nur in ganz wenigen Fallen die Nachschriften selbst 
korrigieren konnte, mufi gegenuber alien Vortragsveroffentli- 
chungen sein Vorbehalt beriicksichtigt werden: «Es wird eben nur 
hingenommen werden mussen, dafi in den von mir nicht nachge- 
sehenen Vorlagen sich Fehlerhaftes findet.» 

Uber das Verhaltnis der Mitgliedervortrage, welche zunachst 
nur als interne Manuskriptdrucke zuganglich waren, zu seinen 
dffentlichen Schriften aufiert sich Rudolf Steiner in seiner Selbst- 
biographie «Mein Lebensgang» (35. Kapitel). Der entsprechende 
Wortlaut ist am Schlufi dieses Bandes wiedergegeben. Das dort 
Gesagte gilt gleichermafien auch fur die Kurse zu einzelnen Fach- 
gebieten, welche sich an einen begrenzten, mit den Grundlagen 
der Geisteswissenschaft vertrauten Teilnehmerkreis richteten. 

Nach dem Tode von Marie Steiner (1867-1948) wurde gemafi 
ihren Richtlinien mit der Herausgabe einer Rudolf Steiner Ge- 
samtausgabe begonnen. Der vorliegende Band bildet einen Be- 
standteil dieser Gesamtausgabe. Soweit erforderlich, finden sich 
nahere Angaben zu den Textunterlagen am Beginn der Hinweise. 



INHALT 



I 

VORTRAGE UBER DIE VIERTE DIMENSION 

Erster Vortrag, Berlin, 24. Marz 1905 13 

Denkweise des Mathematikers und Wirklichkeit. Dimensionen des 
Raumes. Ubergang von niederen zu hdheren Dimensionen durch 
Bewegung. Spiegelsymmetrie. Verhaltnis von Aufienwelt und In- 
nenempfindung. Analogie zur Kriimmung einer Strecke zum Kreis. 
Ubergang zur Wirklichkeit. Vergleich mit Petschaft und Siegellack. 
Vierte Dimension als Denkmoglichkeit und Wirklichkeit. Oskar 
Simony und die Belebung der Raumvorstellung. 

Zweiter Vortrag, Berlin, 31. Marz 1905 25 

Betrachtungen zum vierdimensionalen Raum im Anschlufi an Hin- 
ton. Symmetrie-Verhalten. Verschlingungen des Raumes als reale, 
mit Kraften ausgestattete Naturprozesse. Mond-Erden-Bewegung 
um Sonne als Beispiel. - Aufbau der Dimensionen. Mensch als vier- 
dimensionales Wesen; in friiheren Entwicklungszustanden war er 
dreidimensional. Astralwelt. Punkt und Umkreis; Gegensatz von 
Hchtausstrahlendem Punkt und Dunkelheit hereinschickender 
Sphare. Wiirfel und sein Gegenteil. Strahlungsvermogen als zusatz- 
liche Dimension. Anwendung auf Quadrat und Wiirfel. 

Dritter Vortrag, Berlin, 17. Mai 1905 34 

Beschaftigung mit vierdimensionalem Raum als Vorbereitung fur 
das Erfassen der astralen Welt sowie fur das hohere Dasein iiber- 
haupt. Charakteristische Eigenschaften der astralen Welt: Zahlen 
und Raumgebilde miissen symmetrisch-spiegelbildlich gelesen wer- 
den, ebenso die Zeitverhaltnisse. Auch das Moralische erscheint in 
einer Art Umkehrung oder Spiegelbild. Das Peripherische ist das 
Zentrale. - Menschliches Leben als Stauung zweier Zeitstrome: aus 
der Vergangenheit und aus der Zukunft. Schwelle als astrales Pan- 
oramaerlebnis zukiinftiger Entwicklung mit der Frage: Willst du da 
hinein? Im Kamaloka erscheint die ungelauterte Tiernatur des Men- 



schen. Hier liegt der tiefere Sinn der Seelenwanderungslehre. - 
Physisches und mentales Quadrat. Physisches Quadrat als Stauung 
zweier Paare entgegengesetzter Stromungen. Physischer und men- 
taler Wurfel. Positive und negative Dimensionen. Astralwelt ist 
vierdimensional. Tier als Stauung der entgegengesetzten Stromun- 
gen von Pflanze und Mensch. 

Fragenbeantwortung 49 

Sechs entgegengesetzte Stromungen im Raum. Jede Achsenrichtung 
tragt zwei Stromungen entgegengesetzter Art. 



Vierter Vortrag, Berlin, 24. Mai 1905 50 

Ubung zur zweidimensionalen Darstellung dreidimensionaler Ge- 
bilde im Anschlufi an Hinton. Abwicklung und farbige Darstellung 
der drei Dimensionen des Wiirfels. Darstellung der dritten Dimen- 
sion in der Ebene durch Bewegung eines zweifarbigen Quadrates 
durch eine dritte Farbe. Ubertragung dieses Vorgehens auf die 
Darstellung eines vierdimensionalen Gebildes, des Tessaraktes. 
Abwicklung des Wiirfels und Abwicklung des Tessaraktes im Ver- 
gleich. - Alchemistisches Geheimnis und wirkliche Anschauung des 
vierdimensionalen Raumes. Meditative Vergegenwartigung von 
Merkurius, Sulfur. Astrale Materie. 



Funfter Vortrag, Berlin, 31. Mai 1905 63 

Die Abklappung (Abwicklung) des Wiirfels fiihrt zu einer neuen 
Analogie fur die dreidimensionale Darstellung eines vierdimensio- 
nalen Wiirfels (Tessarakt). Analogie als methodisches Mittel zur 
Erarbeitung einer Vorstellung iiber vierdimensionale Gebilde. Hal- 
bierung der Flachen eines Oktaeders ergibt ein Tetraeder. Beim 
Wurfel geht das nicht. - Geometrische Eigenschaften des Rhom- 
bendodekaeders im Vergleich mit Wurfel und Tetraeder/Oktaeder. 
Wurfel als Gegensatz zum dreidimensionalen Raum. - Begrenzung 
von zwei- und dreidimensionalen Figuren durch gekrummte Gebil- 
de: gekrummtes Quadrat und geknimmter Wurfel. Gewohnlicher 
Wurfel als Verflachung eines gekriimmten Wiirfels. Umgekehrt 
kann durch Kriimmung eines dreidimensionalen Gebildes ein vier- 
dimensionales Gebilde erzeugt werden. 



Sechster Vortrag, Berlin, 7. Juni 1905 75 

Projektion des Wurfels in ein Sechseck. Projektion des Tessaraktes 
in ein Rhombendodekaeder. Achsen des Wurfels und Achsen des 
Rhombendodekaeders. - Hohlengleichnis von Plato als Bild fur das 
Verhaltnis von vierdimensionaler Wirklichkeit und dreidimensiona- 
lem Raum. Bewegung und Zeit als Ausdruck und Erscheinung der 
Lebendigkeit, der vierten Dimension. Ebene Begrenzung bei Kri- 
stallen und kugelig-spharische Begrenzungen bei Lebewesen. Ver- 
nichtung der vierten Dimension eines lebendigen Wesens fiihrt zum 
dreidimensionalen starren Abbild. Fiinfte Dimension als Resultat 
einer Begegnung vierdimensionaler Wesen; sie erscheint im Dreidi- 
mensionalen als Empfindung. Selbstbewufksein ist die Projektion 
der sechsten Dimension in die dreidimensionale physische Welt. - 
Das Erlebnis von Moses am Sinai als Beispiel fur ein wirkliches 
vierdimensionales Wesen mit zwei gewohnlichen Dimensionen so- 
wie zwei hoheren Dimensionen Zeit und Empfindung. Entwick- 
lung von geistigen Fahigkeiten durch intensive Auseinandersetzung 
mit den dargestellten Analogien. 



DER VIERDIMENSIONALE RAUM 



Berlin, 7. November 1905 90 

Erzeugung von Dimensionen durch Bewegung. Ubergang eines 
Kreises in eine Gerade. Bedeutung der neueren synthetischen pro- 
jektiven Geometrie fur eine sachgemafie Raumanschauung. Der 
Raum ist in sich geschlossen. Verschlingung von geschlossenen Pa- 
pierbandern als Beispiel fur die Verschlingung von Dimensionen. In 
Wirklichkeit sind die Bewegungen von Mond und Erde um die 
Sonne ebenso verschlungen. Verlebendigung der Raumanschauung. 
- Abwicklung des Wurfels in die Ebene und des Tessaraktes in den 
dreidimensionalen Raum. Projektion des Wurfels in ein Sechseck 
und des Tessaraktes in ein Rhombendodekaeder. Ubergang zur 
Wirklichkeit. Zeit, Bewegung, Entwicklung als Ausdruck der vier- 
ten Dimension (Pflanze). Wird die Zeit selbst lebendig, so entsteht 
Empfindung als Ausdruck der fiinften Dimension (Tier). Der 
Mensch ist ein sechsdimensionales Wesen. 



UBER DEN MEHRDIMENSIONALEN RAUM 



Berlin, 22. Oktober 1908 100 

Ein Mathematiker kann nur die Moglichkeit eines mehrdimensio- 
nalen Raumes erortern. Die drei Dimensionen Lange, Breite, Hohe 
des Wiirfels. Was ist eine Flache? Rechnerischer Ubergang zu ho- 
heren Dimensionen fiihrt nicht zur Wirklichkeit. Zahlenmafiige 
Erfassung des Raumes fiihrt zu Verwirrungen. Beispiel der Unend- 
lichkeit. Zahlen haben keine Beziehung zum Raum, verhalten sich 
neutral zu ihm. Das wiederholte Verschwinden und Auftauchen 
von etwas Beobachtbarem ist ein Hinweis fur die Existenz einer 
vierten Dimension. Widerlegung eines materialistischen Einwandes. 
Abwicklung der Grenzen von Quadrat und Wiirfel. Abwicklung 
der acht Grenzwiirfel des Tessaraktes. 



II 

FRAGENBEANTWORTUNGEN 1904 - 1922 

Inhaltsiibersicht 113 

Fragenbeantwortungen 119 



Hinweise 

Zu dieser Ausgabe 225 

Textgrundlagen 226 

Nachweis friiherer Veroffentlichungen 228 

Hinweise zu den Vortragen 230 

Hinweise zu den Fragenbeantwortungen 254 

Bibliographic 289 

Namenregister 299 

Rudolf Steiner iiber die Vortragsnachschriften 301 



Ubersicht iiber die Rudolf Steiner Gesamtausgabe . . . 303 



I 



VORTRAGE UBER DIE 
VIERTE DIMENSION 



ERSTER VORTRAG 



Berlin, 24. Marz 1905 

Wenn Sie enttauscht sein sollten iiber das, was Sie jetzt horen 
werden, will ich vorausschicken, daft ich heute ganz elementare 
Dinge [iiber die vierte Dimension] besprechen will. Wer tiefer 
eindringen will in diese Frage, miifke mit den hdheren Begriffen 
der Mathematik genau bekannt sein. Ich mochte Ihnen einige ganz 
elementare und allgemeine Begriffe geben. Man muE unterschei- 
den zwischen der Mdglichkeit zu denken in einem vierdimensio- 
nalen Raum und der Wirklichkeit. Wer imstande ist, dort Beob- 
achtungen zu machen, hat es mit einer Wirklichkeit zu tun, die 
weit hinausreicht iiber das, was wir als das Sinnlich-Wirkliche 
kennen. Man mufi Gedankenumformungen machen, wenn man 
sich hierher begibt. Sie miissen die Dinge ein wenig in die Mathe- 
matik hineinspielen lassen, sich hineinfinden in die Denkweise des 
Mathematikers. 

Man mufi sich klarwerden, daft der Mathematiker keinen 
Schritt tut, ohne sich Rechenschaft zu geben von dem, was in 
seinen Schluftfolgerungen eintrifft. Wir miissen aber auch gewahr 
werden, wenn wir uns mit Mathematik beschaftigen, daft selbst 
der Mathematiker keinen Schritt [in die Wirklichkeit] vordringen 
kann, daft er keine Schluftfolgerungen machen kann, [die iiber das 
bloft Denkmogliche hinausreichen]. Zunachst handelt es sich um 
einfache Dinge, die aber schon komplizierter werden, wenn man 
zum Begriff der vierten Dimension kommen will. Wir miissen uns 
klar dariiber werden, was wir unter Dimensionen verstehen. Am 
besten macht man es sich klar, wenn man die verschiedenen 
Raumgebilde auf ihre Dimensionality hin priift. Sie fuhren zu 
Betrachtungen, welche erst im 19. Jahrhundert von groften Mathe- 
matikern wie Bolyai, Gauft und Riemann in Angriff genommen 
worden sind. 1 

Die einfachste Raumgrofte ist der Punkt. Er hat gar keine Aus- 
dehnung; er mufi gedacht werden. Er ist die Fixierung einer Aus- 



dehnung im Raume. Er hat keine Dimension. Die erste Dimension 
ist die Linie. Die gerade Linie hat eine Dimension, die Lange. 
Wenn wir die Linie, die keine Dicke hat, selbst bewegen, treten 
wir aus der einen Dimension heraus, und die Linie wird zur Fla- 
che. Diese hat zwei Dimensionen, eine Lange und eine Breite. 
Wenn wir die Flache bewegen, so treten wir aus diesen zwei 
Dimensionen heraus, und wir erhalten den Korper. Er hat drei 
Dimensionen: Hohe, Breite, Tiefe (Figur 1). 



Figur 1 




Wenn Sie den Korper selbst bewegen, wenn man [zum Beispiel] 
einen Wiirfel im Raume herumfuhrt, werden Sie wiederum nur 
einen Raumkorper bekommen. Sie konnen den [dreidimensiona- 
len] Raum nicht aus sich heraus bewegen. 



Figur 2 



3 



Wir miissen uns noch ein paar anderen Begriffen zuwenden. 
Wenn Sie eine gerade Linie betrachten, hat sie zwei Grenzen, zwei 
Endpunkte A und B (Figur 2). 

Stellen wir uns vor, daft A und B sich beriihren sollen. Wenn sie 
sich beriihren sollen, miissen wir aber die Gerade krummen. Was 
geschieht? Sie konnen unmoglich in der [eindimensionalen] Gera- 
den drinnenbleiben, wenn Sie A und B zusammenfallen lassen 
wollen. Um die Punkte A und B zu verbinden, miissen wir aus der 
Geraden selbst heraustreten, miissen wir also aus der ersten Di- 



mension heraus und iibergehen in die zweite Dimension, die Fla- 
che. Auf diese Weise entsteht aus der Geraden [eine geschlossene 
Kurve, das heifit im einfachsten Falle] ein Kreis, indem ihre End- 
punkte zur Deckung gebracht werden (Figur 3). 



A 3 



Figur 3 




Es ist also notwendig, aus der ersten Dimension herauszugehen, 
man kann nicht in ihr drinnenbleiben. Nur so entsteht der Kreis. 
Sie konnen dieselbe Operation mit einer [rechteckig begrenzten] 
Flache machen. Dies geht aber nur, wenn Sie nicht in den zwei 
Dimensionen drinnenbleiben. Sie miissen in die dritte Dimension 
hineingehen und bekommen dann aus der Flache eine Rohre, 
einen Zylinder. Diese Operation geschieht auf ganz entsprechende 
Weise wie vorher, wo wir zwei Punkte zur Deckung brachten und 
dabei aus der ersten Dimension herausgegangen sind. Wir miissen 
hier [bei der Flache], um zwei Grenzen der Flache zur Deckung 
zu bringen, in die dritte Dimension hiniibergehen (Figur 4). 



1st es denkbar, daft mit einem Raumgebilde, das schon selbst 
drei Dimensionen hat, eine ahnliche Operation ausgefuhrt werden 
konnte? Wenn Sie zwei kongruente Wiirfel haben, konnen Sie den 
einen in den anderen schieben. [Denken Sie sich nun zwei kongru- 
ente Wiirfel als Begrenzungen eines dreidimensionalen prismati- 
schen Korpers.] Wenn Sie versuchen, den einen Wiirfel, der auf 
einer Seite rot [und auf der gegeniiberliegenden Seite blau] gefarbt 
ist, zur Deckung zu bringen mit dem anderen Wiirfel, der sonst 
[geometrisch] ganz gleich ist, aber bei dem die rote und blaue 
Farbe vertauscht sind, dann konnen Sie die Deckung nicht anders 
herbeifiihren, als indem Sie den Wiirfel drehen (Figur 5). 




Figur 5 



Betrachten wir ein anderes Raumgebilde. Nehmen Sie den Hand- 
schuh der linken Hand, so ist es Ihnen unmoglich, den Handschuh 
der linken Hand iiber die rechte Hand zu ziehen. Wenn Sie aber die 
beiden [spiegelsymmetrischen] Handschuhe zusammengehend be- 
trachten wie die gerade Linie mit den Endpunkten A und B, so 
haben Sie etwas Zusammengehoriges. Es handelt sich dann um ein 
einziges Gebilde, mit einer Grenze [das heilk mit einer Spiegelebe- 
ne] in der Mitte. Ganz ahnlich ist es auch mit den zwei symmetri- 
schen Halften der menschlichen Aufienhaut. 2 

Wie konnen wir nun zwei [spiegeljsymmetrische dreidimensio- 
nale Gebilde zur Deckung bringen? Nur wenn wir iiber die dritte 
Dimension hinausgehen, wie friiher iiber die erste und zweite. Wir 
konnen den rechten oder linken Handschuh auch iiber die linke 
beziehungsweise rechte Hand stiilpen, wenn wir durch den vierdi- 
mensionalen Raum gehen. 3 



[Beim Aufbau der dritten Dimension (Tiefendimension) des 
Anschauungsraumes] bringen wir das Bild des rechten Auges zur 
Deckung mit dem des linken, stiilpen es dariiber. 4 

Wir betrachten nun ein Beispiel von Zollner. 5 Wir haben hier 
einen Kreis und aufterhalb desselben einen Punkt P. Wie konnen 
wir den Punkt P [in den Kreis] hineinbringen, ohne den Kreis zu 
durchkreuzen? Dies geht nicht, wenn wir innerhalb der Ebene 
bleiben. So wie man aus der zweiten Dimension in die dritte hin- 
iibergehen nurft beim Ubergang vom Quadrat zum Wiirfel, so 
miissen wir auch hier aus der zweiten Dimension hinausgehen. Bei 
einer Kugel gibt es ebenfalls keine Moglichkeit [in das Innere] 
hineinzugehen, ohne [die Kugeloberflache zu durchstofien oder] 
iiber die dritte Dimension hinauszugehen. 6 



Figur 6 




P 



Das sind Denkmoglichkeiten, die aber eine praktische Bedeu- 
tung haben fur die Erkenntnislehre, [insbesondere fur das Pro- 
blem der Objektivitat des Wahrnehmungsinhaltes]. Wenn wir uns 
klarmachen, wie man eigentlich wahrnimmt, werden wir zu fol- 
gender Anschauung kommen. Fragen wir uns zunachst: Wie er- 
langen wir durch die Sinne Kenntnisse von den Korpern? Wir 
sehen eine Farbe. Ohne Augen wiirden wir sie nicht wahrnehmen. 
Der Physiker sagt dann: Da draufien im Raum ist nicht das, was 
man Farbe nennt, sondern rein raumliche Bewegungsformen; die 
dringen durch unser Auge, werden vom Sehnerv aufgefangen, zum 
Gehirn fortgesetzt, und dort entsteht zum Beispiel das Rot. Man 
kann sich nun fragen: Ist das Rot auch vorhanden, wenn keine 
Empfindung da ist? 



Das Rot konnte ohne Auge nicht wahrgenommen werden. 
Glockenlauten konnte ohne Ohr nicht wahrgenommen werden. 
Alle unsere Empfindungen hangen davon ab, dafi Bewegungsfor- 
men umgewandelt werden durch unseren physisch-seelischen 
Apparat. Die Sache wird aber noch komplizierter, wenn wir uns 
fragen: Wo ist denn nun eigentlich das Rot, diese eigentiimliche 
Qualitat? Ist es am Korper? Ist es ein Schwingungsvorgang? Drau- 
ften ist ein Bewegungsvorgang, und der setzt sich fort bis ins Auge 
hinein, bis ins Gehirn selbst. Uberall sind Schwingungs- [und 
Nervenjvorgange, nirgends ist Rot. Auch wenn Sie das Auge un- 
tersuchen, Sie wiirden nirgends Rot finden. Draufien ist es 
nicht, aber auch nicht im Gehirn. Nur dann haben wir Rot, wenn 
wir uns selbst als Subjekt diesen Bewegungsvorgangen entgegen- 
stellen. Haben wir also uberhaupt keine Moglichkeit, davon zu 
reden, wie das Rot dem Auge, wie Cis dem Ohr entgegenkommt? 

Die Frage ist, was ist diese innere [Vorstellung], wo entsteht sie? 
In der philosophischen Literatur des 19. Jahrhunderts werden Sie 
finden, dafi diese Frage alles durchzieht. Vor allem Schopenhauer 7 
hat die folgende Definition aufgestellt: Die Welt ist unsere Vorstel- 
lung. - Was bleibt dann aber noch fur den aufieren Korper? [So wie 
eine Farbvorstellung durch Bewegungen «erzeugt» werden kann, so 
kann auch] Bewegung in unserem Innern entstehen durch etwas, 
was im Grunde nicht bewegt ist. Betrachten wir dazu zwolf Mo- 
mentaufnahmen einer [sich bewegenden] Pferdefigur auf [der In- 
nenseite] einer [Zylinder-JFlache, [die mit zwolf feinen Schlitzen in 
den Zwischenraumen versehen ist. Wenn wir seitlich auf den sich 
drehenden Zyiinder blicken,] dann werden wir den Eindruck ha- 
ben, daft es immer dasselbe Pferd bleibt, und dafi es nur die Fufie 
bewegt. 8 Also kann auch [der Eindruck von] Bewegung durch un- 
sere [Leibes-Organisation] entstehen, wenn etwas sich [in Wirk- 
lichkeit] uberhaupt nicht bewegt. So kommen wir zu einer vollstan- 
digen Auflosung von dem, was wir Bewegung nennen. 

Was ist dann aber Materie? Ziehen Sie von der Materie ab Far- 
benglanz, Bewegung [Gestalt und so weiter, also das durch die 
sinnliche Wahrnehmung Vermittelte], dann bleibt nichts iibrig. 



Wenn wir schon die [durch Auftenweltvorgange im individuellen 
Bewufttsein hervorgerufenen sekundaren, das heiftt «subjektiven»] 
Empfindungen [Farbe, Ton, Warme, Geschmack, Geruch] in un- 
serem Innern zu suchen haben, so miissen wir auch [die primaren, 
das heiftt «objektiven» Empfindungen, Gestalt und Bewegung,] in 
unser Inneres versetzen, und damit verschwindet die Auftenwelt 
vollstandig. Daraus ergeben sich aber grofte Schwierigkeiten [fiir 
die Erkenntnislehre]. 9 

Nehmen wir an, alles ware drauften, wie kommen dann die 
Eigenschaften des Gegenstandes drauften in uns hinein? Wo ist 
nun der Punkt [wo das Auftere in das Innere iibergeht]? Wenn wir 
alle [sinnlichen Wahrnehmungsinhalte] abziehen, so gibt es kein 
Drauften mehr. Auf diese Weise versetzt sich die Erkenntnistheo- 
rie in die Lage von Munchhausen, der sich am eigenen Haarschopf 
frei in die Hohe ziehen will. 10 Nur dann aber, wenn wir anneh- 
men, daft es ein Drauften gibt, nur dann konnen wir zu [einer 
Erklarung der] Empfindungen drinnen kommen. Wie kann etwas 
von auften in unser Inneres hereinkommen und als unsere Vorstel- 
lung auftreten? 

Wir miissen die Frage noch anders aufwerfen. Wir betrachten 
zuerst einige Analogien. Sie werden keine Moglichkeit haben, eine 
Beziehung [zwischen Auftenwelt und Innenempfindung] zu fin- 
den, wenn Sie nicht zu folgendem greifen. Wir kehren zuriick zur 
Betrachtung der geraden Linie mit den Endpunkten A und B. Wir 
miissen iiber die erste Dimension hinausgehen, die Linie kriim- 
men, um die Endpunkte zur Deckung zu bringen (Figur 7). 

Denken Sie sich nun den linken Endpunkt A [dieser geraden 
Linie] mit dem rechten Endpunkt B so zusammengebracht, daft sie 
sich unten beriihren, so daft wir imstande sind, [iiber die zusam- 
menfallenden Endpunkte hinweg] zum Ausgangspunkt zuriickzu- 
kehren. Wenn die Linie klein ist, ist auch der entsprechende Kreis 
klein. Wenn ich die [zunachst gegebene] Linie zum Kreise mache 
und dann immer groftere Linien zu Kreisen mache, dann riickt der 
Punkt, in welchem sich die Endpunkte treffen, immer weiter von 
der [ursprunglichen] Linie ab und geht in unendliche Entfernung. 



A" A' A 3 3 1 B" 




•i 



Figur 7 

der [urspriinglichen] Linie ab und geht in unendliche Entfernung. 
Erst in der unendlichen Entfernung haben [die grower werdenden] 
Kreislinien ihren Endpunkt. Die Kriimmung wird dabei eine im- 
mer schwachere, und schlieftlich werden wir unmoglich mit dem 
gewohnlichen Auge die Kreislinie von der Geraden unterscheiden 
konnen (Figur 8). 




Ganz entsprechend erscheint uns auch die Erde als ein gerades 
[flaches] Snick, wenn wir auf ihr gehen, obgleich sie rund ist. 
Wenn wir uns denken, daft die beiden Halften der geraden Linie 
bis in die Unendlichkeit ausgedehnt werden, fallt der Kreis wirk- 



lich mit der Geraden zusammen. 11 Dabei kann die gerade Linie als 
Kreis aufgefafk werden, dessen Durchmesser unendlich ist. Jetzt 
konnen wir uns allerdings vorstellen, dafi, wenn wir [die gerade 
Linie durchlaufen und dabei] in der Linie drinbleiben, wir von der 
anderen Seite aus der Unendlichkeit [wieder] zuruckkommen. 
Dabei miissen wir aber durch die Unendlichkeit hindurchgehen. 

F\ C 3 




Denken Sie sich nun statt einer [geometrischen] Linie etwas, was 
eine Wirklichkeit ist, was sich verbindet mit einer Wirklichkeit. 
Stellen wir uns vor, dafi mit dem Fortschreiten des Punktes C [auf 
der Kreisperipherie] eine Abkuhlung eintritt, dafi der Punkt immer 
kalter und kalter wird, je mehr er sich [von seinem Ausgangsort] 
entfernt (Figur 9). Lassen wir den Punkt zunachst innerhalb der 
Kreislinie, und, indem er immer kalter wird, die untere Grenze A, 
B erreichen. Wenn er auf der anderen Seite zuriickkehrt, nimmt die 
Temperatur wieder zu. Es tritt also auf dem Riickweg der zu dem 
Hinweg entgegengesetzte Zustand ein. Die Erwarmung nimmt zu, 
bis die Temperatur bei C wieder erreicht ist, von welcher wir aus- 
gegangen sind. Wie ausgedehnt auch der Kreis sei, es ist immer 
derselbe Vorgang: ein Abfliefien der Warme und ein Heranfliefien 
derselben. Denken wir uns das auch bei der [unendlich ausgedehn- 
ten geraden] Linie: Indem sich die Temperatur [auf der einen Seite 
immer mehr] verliert, kann sie auf der anderen Seite steigen. Wir 
haben hier einen Zustand, der sich auf einer Seite verliert, wahrend 
er sich auf der anderen Seite wieder aufbaut. 

So bringen wir Leben und Bewegung hinein in die Welt und 
nahern uns dem, was wir in einem hoheren Sinne «Begreifen der 
Welt» nennen konnen. Wir haben hier zwei Zustande, die sich 



bedingen, die voneinander abhangig sind. Fur alles aber, was Sie 
[sinnlich] beobachten konnen, hat der Vorgang, der, sagen wir, 
nach rechts verlauft, nichts zu tun mit dem, der von links zuriick- 
kommt, und doch bedingen sie sich gegenseitig. 12 

Wir vergleichen nun den Korper der Aufienwelt mit dem Ab- 
kiihlungszustand und im Gegensatz dazu unsere Innenempfin- 
dung mit dem Erwarmungszustand. [Obwohl Aufienwelt und 
Innenempfindung nichts unmittelbar sinnlich Wahrnehmbares 
gemeinsam haben,] stehen sie in einem Verhaltnis zueinander, 
bedingen sich gegenseitig [in analoger Weise, wie sich die oben 
geschilderten Prozesse bedingen]. Daraus ergibt sich ein Zusam- 
menhang der Aufienwelt [mit unserer Innenwelt], den wir un- 
terstiitzen konnen durch ein Bild: [durch das Verhaltnis von] Pet- 
schaft und Siegellack. Das Petschaft lalk einen genauen Abdruck, 
eine genaue Wiedergabe des Siegels im Siegellack zuriick, ohne 
da$ das Petschaft im Siegellack zuriickbleibt [und ohne da£ etwas 
Materielles vom Petschaft in den Siegellack iibergeht]. Im Siegel- 
lack bleibt also eine getreue Wiedergabe des Siegels zuriick. Ganz 
entsprechend ist es auch beim Zusammenhang von Aufienwelt 
und Innenempfindungen. Nur das Wesentliche [iibertragt sich]. 
Die eine Zustand[sform] bedingt die andere, wobei aber nichts 
[Materielles] iibergeht. 13 

Wenn wir uns vorstellen, da£ es sich so verhalt mit [dem Zusam- 
menhang zwischen der] Aufienwelt und unseren Eindriicken, kom- 
men wir zu folgendem. [Geometrische] Spiegelbilder im Raume 
verhalten sich so wie Handschuhe von der linken und der rechten 
Hand. [Um diese unmittelbar und kontinuierlich miteinander in 
Beziehung zu setzen,] miissen wir eine neue Dimension des Raumes 
zu Hilfe nehmen. [Nun verhalten sich Aufienwelt und Innenein- 
druck analog wie geometrische Spiegelbilder, konnen f olglich eben- 
so nur durch eine weitere Dimension unmittelbar miteinander in 
Verbindung gebracht werden.] Um nun eine Beziehung herzustel- 
len zwischen Auftenwelt und Inneneindrucken, miissen wir also 
durch eine vierte Dimension gehen, miissen wir in einem dritten 
Element sein. Nur dort konnen wir das Gemeinschaftliche [von 



Auftenwelt und Inneneindrucken] suchen, wo wir [mit ihnen] eins 
sind. [Man kann sich diese Spiegelbilder wie] schwimmend in einem 
Meere [vorstellen], innerhalb welchem wir die Spiegelbilder zur 
Deckung bringen konnen. Und so kommen wir [zunachst rein ge- 
danklich] zu etwas, was iiber den dreidimensionalen Raum hinweg- 
geht und doch eine Wirklichkeit hat. Wir miissen also unsere Raum- 
vorstellungen ins Leben bringen, sie beleben. 

Oskar Simony 14 hat versucht, diese belebten Raumgebilde mit 
Modellen darzustellen. [Wie wir gesehen haben, kommt man] von 
der Betrachtung des Nulldimensionalen [schrittweise] zur Mog- 
lichkeit, sich den vierdimensionalen Raum vorzustellen. [Anhand 
der Betrachtung spiegelsymmetrischer Korper, das heifit mit Hilfe 
der] Symmetrieverhaltnisse, konnen wir diesen Raum zuerst [am 
leichtesten] erkennen. [Ein anderes Mittel, die Besonderheiten des 
empirischen dreidimensionalen Raumes im Verhaltnis zum vier- 
dimensionalen Raum zu studieren, bieten die Verknotungen von 
Kurven und Bandern.] Was versteht man unter Symmetrieverhalt- 
nissen? Dadurch, daft wir Raumgebilde miteinander verschlingen, 
rufen wir bestimmte Komplikationen herbei. [Diese Komplikatio- 
nen sind Besonderheiten des dreidimensionalen Raumes; sie kom- 
men in vierdimensionalen Raumen nicht vor. 15 ] 

Lassen Sie uns ein paar praktische Denkiibungen machen. 
Wenn wir einen Bandring in der Mitte durchschneiden, erhalten 
wir zwei solche Ringe. Zerschneiden wir nun entsprechend ein 
Band, dessen Enden um 180° verdreht und dann verklebt worden 
sind, so erhalten wir einen einzigen verdrehten Ring, der nicht 
zerfallt. Verdrehen wir die Band-Enden um 360° vor dem Zusam- 
menkleben, so ergeben sich beim Zerschneiden zwei ineinander 
verschlungene Ringe. Verdrehen wir schliefSlich die Band-Enden 
um 720°, so ergibt sich durch denselben Prozefi ein Knoten. 16 

Wer nachdenkt iiber Naturvorgange, weift, dafi solche Windun- 
gen in der Natur vorkommen; [in der Wirklichkeit sind] solche 
verschlungenen Raumgebilde mit Kraften versehen. Nehmen Sie 
etwa die Bewegung der Erde um die Sonne, und dann die Bewe- 
gung des Mondes um die Erde. Man sagt, der Mond beschreibe 



um die Erde einen Kreis, doch [wenn man genauer hinsieht] ist es 
eine Linie, die wieder [um einen Kreis, den Bahnkreis der Erde,] 
herumgeschlungen ist, also eine Schraubenlinie um eine Kreislinie. 
Und dann haben wir die Sonne, die so schnell durch den Welten- 
raum eilt, daft der Mond noch um sie eine [zusatzliche] Schrau- 
benbewegung macht. Es sind also sehr komplizierte Kraftelinien, 
die sich im Raume erstrecken. Wir mussen uns vergegenwartigen, 
daft wir es mit komplizierten Raumbegriffen zu tun haben, die wir 
nur dann begreifen, wenn wir sie nicht starr werden lassen, wenn 
wir sie flussig haben. 

Vergegenwartigen wir uns das Gesagte noch einmal: Das Null- 
dimensionale ist der Punkt, das Eindimensionale ist die Linie, das 
Zweidimensionale die Flache und das Dreidimensionale der Kor- 
per, Wie verhalten sich diese Raumbegriffe zueinander? 

Denken Sie sich, Sie waren ein Wesen, welches iiberhaupt nur 
langs einer geraden Linie sich bewegen kann. Wie miiftten die 
Raumvorstellungen von solchen Wesen geartet sein, die selber nur 
eindimensional sind? Sie wiirden die Eindimensionalitat bei sich 
nicht wahrnehmen, sondern nur Punkte sich vorstellen. Denn es 
gibt in der geraden Linie, wenn wir in ihr etwas zeichnen wollen, 
nur Punkte. Ein zweidimensionales Wesen konnte Linien antreffen, 
also eindimensionale Wesen unterscheiden. Ein dreidimensionales 
Wesen, etwa der Wiirfel, wiirde die zweidimensionalen Wesen 
wahrnehmen. Der Mensch nun kann drei Dimensionen wahrneh- 
men. Wenn wir richtig folgern, mussen wir uns sagen: Wie ein ein- 
dimensionales Wesen nur Punkte wahrnehmen kann, wie ein zwei- 
dimensionales Wesen nur eine Dimension, und ein dreidimensiona- 
les Wesen nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann, so kann ein 
Wesen, das drei Dimensionen wahrnimmt, nur ein vierdimensiona- 
les Wesen sein. Dadurch, daft ein Mensch auftere Wesen nach drei 
Dimensionen abgrenzen kann, mit Raumen aus drei Dimensionen 
[umgehen kann], mufi er vierdimensional sein. 17 Und ebenso wie ein 
Wiirfel nur zwei Dimensionen wahrnehmen kann und nicht seine 
dritte, so ist es wahr, daft der Mensch die vierte Dimension, in der 
er lebt, nicht wahrnehmen kann. 



ZWEITER VORTRAG 
Berlin, 31. Marz 1905 



Heute will ich einiges Elementare iiber die Vorstellung des mehr- 
dimensionalen Raumes besprechen [unter anderem in Anschlufi an 
den] geistvollen Hinton. 18 

Sie erinnern sich, wie wir [das letzte Mai] von der Betrachtung 
der nullten Dimension bis zur Vorstellung des mehrdimensionalen 
Raumes kamen. Ich will die Vorstellungen, wie wir vom zwei- 
zum dreidimensionalen Raum kommen konnen, kurz noch einmal 
wiederholen. 

Was haben wir unter einem Symmetric- Verhalten zu verstehen? 
Wie bringe ich eine rote und eine blaue [ebene Figur, die Spiegel- 
bilder voneinander sind,] zur Deckung? 




Figur 10 



Das kann ich bei zwei Kreishalften relativ leicht, indem ich den 
roten [Halb-]Kreis in den blauen hineinschiebe (Figur 10). 

Bei der folgenden [spiegel]symmetrischen Figur gelingt dies 
nicht so leicht (Figur 11). Ich kann den roten und den blauen Teil 
[innerhalb der Ebene] nicht zur Deckung bringen, auf welche 
Weise auch immer ich das Rote in das Blaue hineinzuschieben 
versuche. 



I 




Figur 11 

Aber es gibt ein Mittel [dies trotzdem zu erreichen]: Wenn man 
aus der Tafel, das heifit aus der zweiten Dimension heraustritt 
[und die dritte Dimension zu Hilfe nimmt, mit anderen Worten, 
wenn man] die blaue Figur auf die rote legt [indem man sie durch 
den Raum um die Spiegelachse dreht]. 

Genauso verhalt es sich mit einem Paar Handschuhen: Ich kann 
den einen mit dem anderen nicht zur Deckung bringen, ohne daft 
ich aus dem [dreidimensionalen] Raum heraustrete. Man mufi 
durch die vierte Dimension gehen. 

Ich habe das letzte Mai gesagt, daft man [die Beziehungen im] 
Raum flussig machen mufi [wenn man sich eine Vorstellung von 
der vierten Dimension erarbeiten will], um dadurch ahnliche Ver- 
haltnisse zuwege zu bringen, wie man sie hat, wenn man von der 
zweiten in die dritte Dimension ubergeht. In der letzten Stunde 
haben wir aus Papierstreifen Raumgebilde erzeugt, die sich inein- 
ander verschlingen. Solche Verschlingungen rufen bestimmte 
Komplikationen herbei. Das ist keine Spielerei, sondern in der 
Natur kommen fortwahrend solche Verschlingungen vor. Wer 
nachdenkt iiber Naturprozesse, weifi, daft solche Verschlingungen 
wirklich in der Natur vorkommen. Materielle Korper bewegen 
sich in solchen verschlungenen Raumgebilden. Diese Bewegungen 
sind mit Kraften ausgestattet, so dafi die Krafte sich ebenfalls ge- 
geneinander verschlingen. Nehmen Sie die Bewegung der Erde um 



die Sonne und dann die Bewegung des Mondes um die Erde. Der 
Mond durchlauft einen Kreis, der um den Bahnkreis der Erde um 
die Sonne herumgeschlungen ist. Er beschreibt also eine Schrau- 
benlinie um eine Kreislinie. Wegen der Bewegung der Sonne 
macht der Mond um diese eine weitere Schraubenlinie. Es ergeben 
sich also sehr komplizierte Kraftelinien, die sich durch den ganzen 
Raum erstrecken. 

Die Himmelskorper verhalten sich so zueinander wie die ver- 
schlungenen Papierstreifen [von Simony, die wir das letzte Mai 
betrachtet haben]. Wir miissen uns vergegenwartigen, daft wir es 
mit komplizierten Raumbegriffen zu tun haben, die wir nur dann 
begreifen, wenn wir sie nicht starr werden lassen. Wenn wir den 
Raum [in seinem Wesen] begreifen wollen, [miissen wir ihn zwar 
zunachst starr auffassen, ihn dann aber] wieder vollstandig fliissig 
machen, [Man mufi wie] bis zur Null [gehen]; darinnen ist der 
[lebendige] Punkt [zu finden]. 

Wir vergegenwartigen uns noch einmal [den Aufbau der Di- 
mensionen]. Der Punkt ist nulldimensional, die Linie eindimen- 
sional, die Flache zweidimensional und der Korper dreidimensio- 
nal. So hat der Wiirfel die drei Dimensionen: Hohe, Breite und 
Tiefe. Wie verhalten sich nun die Raumgebilde [verschiedener 
Dimensionen] zueinander? Denken Sie sich, Sie seien eine gerade 
Linie, Sie hatten nur eine Dimension, Sie konnten sich nur langs 
einer geraden Linie bewegen. Falls es solche Wesen gabe, wie 
miilke die Raumvorstellung solcher Wesen geartet sein? Solche 
Wesen wiirden die Eindimensionalitat bei sich nicht wahrnehmen, 
sondern sie wiirden sich nur Punkte vorstellen konnen iiberall, wo 
sie auch hinkamen. Denn es gibt in der geraden Linie, wenn wir 
etwas in ihr zeichnen wollen, nur Punkte. Ein zweidimensionales 
Wesen wiirde nur Linien antreffen, wiirde also nur eindimensio- 
nale Wesen wahrnehmen. [Ein dreidimensionales Wesen wie] der 
Wiirfel wiirde zweidimensionale Wesen wahrnehmen, konnte aber 
nicht seine [eigenen] drei Dimensionen wahrnehmen. 

Der Mensch nun kann seine drei Dimensionen wahrnehmen. 
Wenn wir richtig folgern, miissen wir uns sagen: Wie ein eindi- 



mensionales Wesen nur Punkte wahrnehmen kann, ein zweidi- 
mensionales Wesen nur Geraden und ein dreidimensionales Wesen 
nur Flachen, so muft ein Wesen, das drei Dimensionen wahr- 
nimmt, selbst ein vierdimensionales Wesen sein. Dadurch, daft der 
Mensch auftere Wesen nach drei Dimensionen abgrenzen kann, 
mit Raumen aus drei Dimensionen [umgehen kann], muft er vier- 
dimensional sein. Und ebenso, wie ein Wiirfel nur zwei Dimensio- 
nen wahrnehmen kann und nicht seine dritte, so ist klar, daft der 
Mensch die vierte Dimension, in der er lebt, nicht wahrnehmen 
kann. Damit haben wir gezeigt, [daft der Mensch ein vierdimen- 
sionales Wesen sein muft]. Wir schwimmen im Meere [der vierten 
Dimension, wie Eis in Wasser]. 

Wir kehren noch einmal zur Betrachtung der Spiegelbilder zu- 
ruck (Figur 11). Diese senkrechte Linie stellt den Querschnitt ei- 
nes Spiegels dar. Der Spiegel wirft ein Spiegelbild [der Figur auf 
der linken Seite] zuriick. Der Spiegelungsprozeft weist iiber die 
zwei Dimensionen hinaus in die dritte Dimension. [Um den un- 
mittelbaren und kontinuierlichen Zusammenhang des Spiegelbil- 
des mit dem Original zu verstehen, miissen wir zu] den zwei 
Dimensionen eine dritte hinzunehmen. 



Figur 12 




[Nun betrachten wir das Verhaltnis von Auftenraum und In- 
nenvorstellung.] Der Wiirfel hier aufter mir [erscheint als] eine 
Vorstellung in mir (Figur 12). Die Vorstellung [des Wiirfels] ver- 
halt sich zum Wiirfel wie ein Spiegelbild zum Original. Unser 
Sinnesapparat [entwirft vom Wiirfel ein Vorstellungsbild. Will 
man dieses mit dem Originalwiirfel] zur Deckung bringen, so muft 



man durch die vierte Dimension hindurchgehen. Genauso wie 
[beim kontinuierlichen Vollzug des zweidimensionalen] Spiegel- 
prozesses zur dritten Dimension iibergegangen werden mufi, muE 
unser Sinnesapparat, wenn er imstande sein soli, einen [direkten] 
Zusammenhang [zwischen Vorstellungsbild und aulSerem Gegen- 
stand] herzustellen, vierdimensional sein. 19 

Wenn Sie nur [zweidimensional] vorstellen wiirden, so wiirden 
Sie [nur] ein Traumbild vor sich haben, aber keine Ahnung davon 
haben, daft draufien ein Gegenstand ist. Unser Vorstellen ist ein 
direktes Stulpen unseres Vorstellungsvermogens iiber [die aufteren 
Gegenstande vermittels des] vierdimensionalen Raumes. 

Der Mensch war im Astralzustand [wahrend friiherer Stadien 
der Menschheitsevolution] nur ein Traumer, er hatte nur solche 
aufsteigenden Traumbilder. 20 Er ist dann iibergegangen vom 
Astralreich zum physischen Raum. Damit haben wir den Uber- 
gang vom astralen zum [physisch-]materiellen Wesen mathema- 
tisch definiert. Bevor dieser Ubergang geschah, war der astrale 
Mensch ein dreidimensionales Wesen und konnte deshalb nicht 
seine [zweidimensionalen] Vorstellungen auf die objektive [dreidi- 
mensionale physisch-materielle] Welt ausdehnen. Aber als er 
[selbst] physischf-materiell] geworden ist, hat er noch die vierte 
Dimension hinzubekommen [und konnte demzufolge auch drei- 
dimensional erleben]. 

Durch die eigentumliche Einrichtung unseres Sinnesapparates 
sind wir imstande, unsere Vorstellungen mit den aufieren Gegen- 
standen zur Deckung zu bringen. Indem wir unsere Vorstellungen 
auf auftere Dinge beziehen, gehen wir durch den vierdimensionalen 
Raum durch, stulpen die Vorstellung iiber den aufteren Gegenstand. 

Wie wiirden sich die Dinge ausnehmen, wenn wir von der an- 
deren Seite aus schauen konnten, wenn wir in die Dinge hineintre- 
ten und sie von dort aus sehen konnten? Um das zu konnen, 
miilken wir durch die vierte Dimension hindurch. 

Die Astralwelt selbst ist nicht eine Welt von vier Dimensionen. 
Aber die astrale Welt zusammen mit ihrer Spiegelung in der phy- 
sischen Welt ist vierdimensional. Wer imstande ist, die astrale 



Welt und die physische Welt zugleich zu tiberschauen, der lebt im 
vierdimensionalen Raum, Das Verhaltnis unserer physischen Welt 
zur astralen ist ein vierdimensionales. 

Man muft begreif en lernen den Unterschied zwischen Punkt und 
Sphare. fin der Wirklichkeit] ware dieser Punkt nicht passiv, son- 
dern ein nach alien Seiten Licht ausstrahlender Punkt (Figur 13). 



Figur 13 




Welches ware nun das Gegenteil eines solchen Punktes? Ge- 
nauso wie es einen Gegensatz zu einer Linie gibt, die von links 
nach rechts geht, namlich eine Linie, die von rechts nach links 
geht, so gibt es auch einen Gegensatz zum [Licht ausstrahlenden] 
Punkt. Wir stellen uns eine riesige, in Wirklichkeit unendlich gro- 
fie, Kugel vor, die von alien Seiten, aber jetzt nach innen, Dunkel- 
heit verbreitet, Dunkelheit hereinschickt (Figur 14). Diese Kugel 
ist das Gegenteil des [Licht ausstrahlenden] Punktes. 



Das sind zwei wirkliche Gegensatze: Der Licht ausstrahlende 
Punkt und der unendliche Raum, der nicht ein neutrales dunkles 
Gebilde ist, sondern der von alien Seiten her den Raum mit Dun- 
kelheit iiberflutet. [Als Gegensatz ergibt sich so] eine Quelle der 
Dunkelheit und eine Quelle des Lichts. Wir wissen, daft eine ge- 
rade Linie, die sich in die Unendlichkeit verliert, von der anderen 
Seite nach demselben Punkt zunickkehrt. Ebenso ist es bei einem 
Punkte, der nach alien Seiten Licht ausstrahlt. Dieses Licht kommt 
[aus der Unendlichkeit] als sein Gegenteil, als Dunkelheit zuriick. 

Nun betrachten wir den umgekehrten Fall. Nehmen Sie den 
Punkt als Quelle der Dunkelheit. Als Gegensatz ergibt sich ein 
Raum, der von alien Seiten Helle hereinstrahlt. 

So wie dies neulich [im vorangehenden Vortrag] durchgenom- 
men wurde, so verhalt es sich mit dem Punkt; er verliert sich nicht 
[in der Unendlichkeit, er kommt von der anderen Seite wieder 
zuriick] (Figur 15). 



Figur 15 




[Ganz entsprechend verliert sich ein Punkt, wenn er sich aus- 
dehnt oder hinausstrahlt, nicht im Unendlichen; er kommt als 
Sphare aus dem Unendlichen zuriick.] Die Sphare, das Kugelfor- 
mige, ist das Gegenteil des Punktes. Im Punkte lebt der Raum. 
Der Punkt ist das Gegenteil des Raumes. 

Was ist [das Gegenteil] eines Wiirfels? Nichts anderes als der 
ganze unendliche Raum, abgerechnet das Stuck, das hier [durch 
den Wiirfel] herausgeschnitten ist. So da$ wir uns den [totalen] 
Wurfel als unendlichen Raum vorstellen miissen plus sein Gegen- 
teil. Ohne Polaritaten kommen wir nicht aus, wenn wir uns die 
Welt kraftvoll dynamisch vorstellen [wollen], [Erst so] haben wir 
die Dinge in ihrem Leben. 



Wurde sich der Okkultist den Wiirfel rot vorstellen, so wiirde 
der [iibrige] Raum griin sein, denn Rot ist die Gegenfarbe von 
Griin. Der Okkultist hat nicht nur einfach Vorstellungen fur sich 
selbst, er hat lebendige Vorstellungen, keine abstrakten, toten 
Vorstellungen. Der Okkultist muE aus sich heraus in die Dinge 
hineinkommen. Unsere Vorstellungen sind tot, wahrend die Dinge 
in der Welt lebendig sind. Wir leben mit unseren abstrakten Vor- 
stellungen nicht in den Dingen selber. So miissen wir uns zum 
Licht ausstrahlenden Stern den unendlichen Raum in der entspre- 
chenden Erganzungsfarbe hinzu vorstellen. Wenn man solche 
Ubungen macht, kann man sein Denken schulen, bekommt man 
Vertrauen, wie man sich Dimensionen vorstellen kann. 

Sie wissen, dafS das Quadrat eine zweidimensionale Raumgrofte 
ist. Ein Quadrat, zusammengesetzt aus vier rot- und blauschattier- 
ten Teilquadraten, ist eine Flache, die in verschiedene Richtungen 
verschieden strahlt (Figur 16). Die Fahigkeit, in verschiedene 
Richtungen verschieden zu strahlen, ist eine dreidimensionale Fa- 
higkeit. Wir haben hier also die drei Dimensionen Lange, Breite 
und Strahlungsvermogen. 



Figur 16 



Was wir hier mit der Flache machten, denken wir uns auch fur 
den Wiirfel ausgefuhrt. Ebenso wie das obige Quadrat aus vier 
Teilquadraten aufgebaut war, denken wir uns den Wiirfel aus acht 
Teilwiirfeln aufgebaut (Figur 17). Daraus ergeben sich zunachst 
die drei Dimensionen Hohe, Breite und Tiefe. Innerhalb jedes 
[Teil-]Wiirfels ware dann zu unterscheiden ein bestimmtes Licht- 
ausstrahlungsvermogen. Daraus ergibt sich zusatzlich zur Hohe, 
Breite und Tiefe eine weitere Dimension: das Strahlungsvermogen. 




Sie konnen sich ein Quadrat aus vier Teilquadraten zusammen- 
gefiigt denken, einen Wiirfel aus acht verschiedenen Teilwiirfeln. 
Und nun denken Sie sich einen Korper, der nicht Wiirfel ist, son- 
dern der eine vierte Dimension hat. Wir haben uns die Moglich- 
keit geschaffen, dies zu verstehen durch das Strahlungsvermogen. 
Hat jeder [der acht Teil wiirfel] ein verschiedenes Strahlungsver- 
mogen, so mufi ich, wenn ich bloft den einen Wiirfel habe, der ein 
Strahlungsvermogen nur nach einer Seite hat, wenn ich den Wiirfel 
erhalten will, der nach alien Seiten strahlt, iiberall zu dem links- 
stehenden einen anderen noch hinzufugen, ihn mit einem ent- 
gegengesetzten verdoppeln, ich muft ihn aus 16 Wiirfeln zusam- 
mensetzen. 21 

Nachste Stunde werden wir die Moglichkeit bekommen, wie 
wir uns einen mehrdimensionalen Raum denken konnen. 



DRITTER VORTRAG 



Berlin, 17. Mai 1905 

Meine lieben Freunde, ich werde heute mit dem schwierigen Ka- 
pitel fortfahren, das durchzunehmen wir unternommen haben. 
Dabei wird es notwendig sein, einmal auf die verschiedenen Dinge 
Bezug zu nehmen, die ich in den letzten [beiden] Vortragen schon 
erwahnt habe. Dann mochte ich heute auch die Grundlinien, die 
Grundbegriffe schaffen, um uns in einer letzten und zweitletzten 
Stunde anhand der Modelle von Herrn Schouten 22 [die genaueren 
geometrischen Verhaltnisse sowie] die interessanten praktischen 
Gesichtspunkte der Theosophie, vollig zu eigen zu machen. . 

Sie wissen, wir haben den vierdimensionalen Raum seiner 
Moglichkeit nach aus dem Grunde uns vorzustellen versucht, da- 
mit wir uns wenigstens eine Art von Begriff schaffen konnen iiber 
das sogenannte astrale Gebiet sowie iiber die hoheren Gebiete, das 
hohere Dasein uberhaupt. Ich habe schon angedeutet, dafi das 
Betreten des astralen Raumes, der astralen Welt, fur den Geheim- 
schiiler zunachst etwas ungeheuer Verwirrendes hat. Derjenige, 
welcher sich nicht naher mit diesen Dingen beschaftigt hat, wel- 
cher sich bis dahin nicht einmal theoretisch damit befafit hat, der 
nicht einmal theoretisch Theosophie studiert hat, dem wird es 
aufierordentlich schwer, sich uberhaupt eine Vorstellung von der 
ganz verschiedenen Natur der Dinge und Wesenheiten zu machen, 
die uns entgegentreten in der sogenannten astralen Welt. Lassen 
Sie uns noch einmal mit ein paar Strichen hinweisen darauf, wie 
grofi diese Verschiedenheit ist. 

Als einfachstes habe ich erwahnt, daft wir jede Zahl lernen 
mussen symmetrisch zu lesen. Der Geheimschuler, der nur ge- 
wohnt ist, die Zahlen so zu lesen, wie man sie hier in der physi- 
schen Welt liest, wird sich durch das Labyrinth des Astralischen 
nicht durchfinden konnen. Wenn Sie im Astralen eine Zahl haben, 
zum Beispiel 467, so mussen Sie lesen: 764. Sie mussen sich daran 
gewohnen, ein jedes Ding symmetrisch zu lesen, symmetrisch 



[spiegelbildlich] anzusehen. Das ist die Grundbedingung. Das ist 
noch leicht, solange wir bei Raumgebilden oder Zahlen sind. 
Schwieriger wird die Sache, wenn wir zu Zeitverhaltnissen kom- 
men. Wenn wir zu Zeitverhaltnissen kommen, so wird die Sache 
im Astralischen auch symmetrisch und zwar so, daft uns das Spa- 
tere zuerst und das Friihere spater erscheint. Also wenn Sie astra- 
lische Vorgange beobachten, so miissen Sie auch von riickwarts 
nach vorwarts, von hinten nach vorn lesen konnen. Diese Dinge 
kann man nur andeuten, weil sie manchmal ganz grotesk erschei- 
nen dem, der nie eine Vorstellung davon hatte. Im Astralen ist 
zuerst der Sohn da und dann der Vater, da ist zuerst das Ei da und 
dann das Huhn. Im Physischen ist das anders. Im Physischen wird 
zuerst geboren und dann ist das Geborensein ein Hervorgehen 
eines Neuen aus einem Alten. Im Astralischen ist das umgekehrt. 
Dort geht das Alte aus dem Neuen hervor. Im Astralischen ver- 
schlingt fur die Erscheinung dasjenige, was vaterlicher oder miit- 
terlicher Natur ist, dasjenige, was sohnlicher oder tochterlicher 
Natur ist. 

Im Griechischen haben Sie eine hubsche Allegoric Die drei 
Gotter Uranos, Kronos und Zeus stellen symbolisch die drei 
Welten dar. Uranos stellt uns die himmlische Welt dar: Devachan; 
Kronos stellt uns das Astralische dar; Zeus das Physische. Von 
Kronos wird uns gesagt, daft er seine Kinder aufzehrte. 23 Im 
Astralen wird also nicht geboren, sondern verzehrt. 

Ganz kompliziert wird die Sache aber dann, wenn wir das 
Moralische auf dem astralischen Plan aufsuchen. Das erscheint 
auch in einer Art von Umkehrung oder Spiegelbild. Und deshalb 
konnen Sie sich auch denken, wie anders die Dinge erscheinen, als 
wenn wir uns die Dinge so auslegen, wie wir es gewohnt sind, sie 
im Physischen auszulegen. Da sehen wir im Astralischen zum 
Beispiel, daft ein wildes Tier an uns herankommt. Das ist nicht so 
aufzufassen wie im Physischen. Das wilde Tier wiirgt uns. Das ist 
die Erscheinung, die derjenige hat, welcher gewohnt ist, die Sache 
so zu lesen wie die aufieren Vorgange. Das wilde Tier ist aber in 
Wahrheit etwas, was in uns selbst vorhanden ist, was in unserem 



eigenen Astralleib lebt und was uns wiirgt. Das, was als Wiirger an 
Sie herantritt, ist etwas, was in Ihrem eigenen Verlangen wurzelt. 
So konnen Sie erleben, dafi, wenn Sie einen Rachegedanken haben, 
dieser Rachegedanke Ihnen als Wiirgeengel, der von aufien an Sie 
herantritt, erscheint und Sie belastigt. 

In Wahrheit strahlt [im Astralen] alles von uns aus. Wir miissen 
alles, was wir im Astralen an uns herankommen sehen, als von uns 
ausstrahlend betrachten (Figur 18). Von der Sphare, von alien 
Seiten kommt es heran, gleichsam wie von dem unendlichen Raum 
dringt es in uns hinein. In Wahrheit ist es aber nichts anderes als 
das, was unser eigener Astralkorper nach aufien schickt. 




Wir lesen das Astralische erst richtig, [finden erst dann] die 
Wahrheit, wenn wir imstande sind, das Peripherische in das Zen- 
trum zu bringen, das Peripherische als das Zentrale zu betrachten 
und zu deuten. Das Astralische scheint von alien Seiten auf Sie 
zuzukommen. Das ist so zu denken: In Wahrheit ist es etwas, was 
nach alien Seiten hin von Ihnen selbst ausstrahlt. 

Ich mochte Sie hier gleich mit einem Begriffe bekannt machen, 
der sehr wichtig ist bei der okkulten Schulung. Er spukt in den 
verschiedensten Werken iiber okkulte Forschung herum, wird 
aber wenig richtig verstanden. Derjenige, der bis zu einer gewissen 
Stufe der okkulten Entwicklung gelangt ist, muE lernen, alles, was 
in ihm noch karmisch veranlagt ist, Freude, Lust, Schmerz und so 
weiter, in der astralischen Aufienwelt zu sehen. Wenn Sie im rich- 
tigen Sinne theosophisch denken, werden Sie sich daniber klar 
sein, dafi das au£ere Leben, unser Leib, im gegenwartigen Zeitalter 



weiter nichts ist als ein Ergebnis, ein Durchschnitt von zwei Stro- 
mungen, die von entgegengesetzten Richtungen kommen und in- 
einandergehen. 

Denken Sie sich einmal eine Stromung von der Vergangenheit 
her und eine Stromung, die von der Zukunft herankommt, dann 
haben Sie zwei ineinandergehende, eigentlich in jedem Punkt sich 
durchkreuzende Stromungen (Figur 19). Denken Sie sich eine rote 
Stromung nach der [einen] Richtung und eine blaue Stromung 
nach der [anderen] Richtung. Und nun denken Sie sich in diesem 
Durchschnitt zum Beispiel vier verschiedene Punkte. [Dann haben 
wir in jedem dieser vier Punkte] ein Zusammenwirken dieser ro- 
ten und blauen Stromungen. [Das ist ein Bild fur das Zusammen- 
wirken von] vier aufeinanderfolgenden Inkarnationen, wo in jeder 
Inkarnation uns etwas von der einen [und etwas von der anderen] 
Seite entgegenkommt. Da konnen Sie sich immer sagen, da ist eine 
Stromung, die Ihnen entgegenkommt und eine Stromung, die 
Sie mitbringen. Der Mensch fliefk zusammen aus diesen beiden 
Stromungen. 



■O 



Figur 19 



Sie bekommen eine Vorstellung davon, wenn Sie sich die Sache 
so denken. Heute sitzen Sie hier mit verschiedenen Erlebnissen, 
morgen werden Sie zur selben Stunde eine andere Summe von 
Ereignissen um sich haben. Denken Sie sich einmal die Ereignisse, 
die Sie bis morgen haben werden, waren schon alle da. Es ware 
dann dasselbe Erlebnis, wie wenn Sie in ein Panorama blicken 
wiirden. Es ware so, wie wenn Sie diesen Ereignissen entgegengin- 
gen, wie wenn diese Ereignisse Ihnen raumlich entgegenkommen. 
Stellen Sie sich also vor, der Strom, der von der Zukunft gegen Sie 
herankommt, bringe Ihnen diese Ereignisse entgegen, dann haben 



Sie in diesem Strom [enthalten] die Ereignisse zwischen heute und 
morgen. Sie lassen sich von der Vergangenheit die Ihnen entgegen- 
stromende Zukunft zutragen. 

In jedem Zeitabschnitt ist Ihr Leben ein Durchschnitt von zwei 
Stromungen, von denen die eine von der Zukunft nach der Gegen- 
wart geht und die andere von der Gegenwart nach der Zukunft. 
Wo sich die Stromungen treffen, tritt eine Stauung ein. Alles, was 
der Mensch noch vor sich hat, muft er als astralische Erscheinung 
vor sich auftauchen sehen. Dieses ist etwas, was eine unglaublich 
eindriickliche Sprache spricht. 

Denken Sie sich, daft der Geheimschuler [an den Punkt seiner 
Entwicklung kommt, wo er] hineinblicken soil in die astrale Welt, 
wo ihm die Sinne aufgeschlossen werden, so daft er das, was er 
noch bis zum Ablaufe der jetzigen Periode zu erleben haben 
wiirde, als auftere Erscheinung in der astralen Welt rings um sich 
auftauchen sehen wiirde. Das ist ein Anblick, der von ganz ein- 
dringlicher Art fur jeden Menschen ist. Wir miissen also sagen, es 
ist eine wichtige Stufe im Verlauf der okkulten Schulung, daft dem 
Menschen als astralisches Panorama, als astralische Erscheinung, 
dasjenige entgegentritt, was er noch bis zur Mitte der sechsten 
Wurzelrasse - denn bis dahin gehen unsere Inkarnationen - zu 
erleben hat. Es erschlieftt sich ihm der Weg. Kein Geheimschuler 
wird es anders [erleben], als daft er als auftere Erscheinung das 
entgegentreten sieht, was er in der naheren Zukunft bis zur sech- 
sten Wurzelrasse [noch] vor sich hat. 

Wenn der Schuler bis zur Schwelle vorgeschritten ist, dann tritt 
an ihn die Frage heran: Willst Du dieses alles in der denkbar kiir- 
zesten Zeit durchleben? Denn darum handelt es sich fiir den- 
jenigen, der die Einweihung empfangen will. Wenn Sie sich das 
iiberlegen, so haben Sie Ihr eigenes zukiinftiges Leben in einem 
Moment als aufteres Panorama vor sich. Das ist wiederum das- 
jenige, was uns die Anschauung des Astralischen charakterisiert. 
Dies ist fiir den einen Menschen so, daft er sich sagt: Nein, da gehe 
ich nicht hinein. Fiir den anderen dagegen ist es so, daft er sich 
sagt: Ich muft hinein. Diesen Punkt der Entwickelung nennt man 



die «Schwelle», die Entscheidung, und die Erscheinung, die man 
da hat, sich selbst mit allem, was man noch zu erfahren und zu 
erleben hat, die nennt man den «Hiiter der Schwelle». Der Hiker 
der Schwelle ist also nichts anderes als unser eigenes kiinftiges 
Leben. Wir selbst sind es. Unser eigenes zukunftiges Leben liegt 
hinter der Schwelle. 

Wiederum eine Eigentumlichkeit der astralischen Erschei- 
nungswelt sehen Sie darin, daft derjenige, dem durch irgendein 
Ereignis - und es gibt solche Ereignisse im Leben - die astralische 
Welt plotzlich geoffnet wird, zunachst vor etwas Unverstandli- 
chem stehen mufi. Das ist ein furchtbarer Anblick, der nicht ver- 
wirrender gedacht werden kann fur alle diejenigen Menschen, auf 
welche, unvorbereitet, durch irgendein Ereignis plotzlich die 
astrale Welt hereinbricht. Es ist daher im eminentesten Sinne gut, 
das zu wissen, was wir jetzt besprochen haben, damit man im 
Falle des Hereinbrechens der astralen Welt weift, was man zu tun 
hat. Es kann ein pathologisches Ereignis sein, eine Lockerung 
zwischen dem physischen Leib und dem Atherleib oder zwischen 
dem Atherleib und dem Astralleib. Durch solche Ereignisse kann 
der Mensch in die Lage versetzt sein, unvermutet in die astrale 
Welt zu kommen, in das astrale Leben einen Einblick zu tun. Ist 
das der Fall, dann kommt er und erzahlt, daft er diese oder jene 
Erscheinung sieht. Er sieht es und versteht es nicht zu lesen, weil 
er nicht weift, daft er symmetrisch zu lesen hat, daft er jedes wilde 
Tier, das an ihn herankommt, aufzufassen hat als die Spiegelung 
von dem, was in ihm selbst liegt. In der Tat, die astralischen Krafte 
und Leidenschaften des Menschen erscheinen im Kamaloka in den 
mannigfaltigsten Formen der tierischen Welt. 

Es ist kein besonders schoner Anblick, wenn man im Kamaloka 
die Menschen sieht, welche eben erst entkorpert worden sind. In 
diesem Augenblick haben sie noch alle ihre Leidenschaften, Trie- 
be, Wunsche und Begierden an sich. Solch ein Mensch im Kama- 
loka hat zwar seinen physischen Korper nicht mehr und auch 
keinen Atherkorper mehr, aber in seinem Astralkorper hat er noch 
alles dasjenige, was ihn mit der physischen Welt verbunden hat, 



was nur durch den physischen Korper befriedigt werden kann. 
Denken Sie sich einmal einen gewohnlichen Durchschnittsbiirger 
der Gegenwart, der in seinem vergangenen Leben nichts besonde- 
res geworden ist und sich auch keine Miihe gegeben hat, etwas zu 
erreichen, der nie viel getan hat zu seiner religiosen Entwickelung, 
der die Religion vielleicht nicht theoretisch, aber praktisch, das 
heiftt in der Empfindung und Gesinnung iiber Bord geworfen hat. 
Sie ist dann bei ihm kein lebendiges Element. Was enthalt dann 
sein Astralkorper? Es sind nur Dinge, die befriedigt werden kon- 
nen durch den physischen Organismus. Er verlangt zum Beispiel 
nach Gaumengenuft. Der Gaumen miiftte dafur aber da sein, damit 
diese Begierde befriedigt werden kann. Oder der Mensch verlangt 
nach anderen Freuden, die nur dadurch, daft er seinen physischen 
Korper in Bewegung setzt, befriedigt werden konnen. Nehmen Sie 
an, er hatte eine solche Begierde, aber der Korper ware weg. Dann 
lebt das alles in seinem Astralkorper. Das ist die Lage, in welcher 
der Mensch ist, wenn er ohne eine astralische Reinigung und Lau- 
terung hingestorben ist. Er hat noch die Begierde nach dem Gau- 
mengenuft und den anderen Dingen, aber nicht die Moglichkeit, 
sie zu befriedigen. Dadurch entsteht das, was das Qualende, das 
Furchtbare des Kamaloka-Lebens ist. Deshalb mufi die Begierde 
im Kamaloka abgelegt werden, wenn der Mensch ohne astrale 
Lauterung stirbt. Erst wenn dieser astralische Leib so weit ist, daft 
er es gelernt hat, daft er seine Begierden und Wiinsche nicht mehr 
befriedigen kann, daft er sie sich abgewohnen muft, dann ist er 
befreit. 

[In der Astralwelt nehmen] die Triebe und Leidenschaften tie- 
rische Gestalten an. Solange der Mensch im physischen Korper 
verkorpert ist, so lange richtet sich sein Astralleib in der Gestalt 
etwas nach diesem physischen Leib. Wenn aber der auftere Leib 
weg ist, dann kommen die Triebe, Begierden und Leidenschaften, 
so wie sie in ihrer tierischen [Natur] sind, in ihrer eigenen Gestalt 
zur Geltung, zum Durchbruch. So ist also der Mensch in der 
Astralwelt ein Abbild seiner Triebe und Leidenschaften. 

Weil sich diese Astralwesen anderer Korper bedienen konnen, 



deshalb ist es gefahrlich, Medien in Trance kommen zu lassen, 
wenn nicht ein Hellseher dabei ist, der Boses abwenden kann. 

Der Lowe ist in der physischen Welt ein plastischer Ausdruck 
bestimmter Leidenschaften, der Tiger ist ein Ausdruck von ande- 
ren Leidenschaften, die Katze wieder von anderen. Es ist interes- 
sant zu sehen, wie jedes Tier der plastische Ausdruck einer Lei- 
denschaft, eines Triebes ist. 

Im Astralischen, im Kamaloka, ist also der Mensch durch seine 
Leidenschaften annahernd ahnlich [der Tier-Natur]. Daher 
kommt das Miftverstandnis, das man den agyptischen und indi- 
schen Priestern und Weisheitslehrern entgegengebracht hat in be- 
zug auf die Lehre von der Seelenwanderung. Ihr sollt so leben, daft 
ihr nicht im Tiere verkorpert werdet, sagt diese Lehre. Niemals 
spricht diese Lehre aber vom physischen Leben, sondern von dem 
hoheren Leben und das, was sie wollte, war nichts anderes, als die 
Menschen auf der Erde zu einem solchen Leben zu bewegen, daft 
sie nach dem Tode im Kamaloka nicht ihre tierische Gestalt aus- 
bilden mussen. Wer das Charakteristische einer Katze ausbildet, 
erscheint im Kamaloka als Katze. Daft man auch im Kamaloka als 
Mensch erscheint, das ist der Sinn der Vorschriften der Lehre von 
der Seelenwanderung. Die wahren Lehren haben die Gelehrten 
nicht verstanden, sie haben nur eine absurde Vorstellung davon. 

So haben wir gesehen, daft wir es zu tun haben, wenn wir den 
Astralraum betreten, auf jedem Gebiet - auf dem Gebiete der 
Zahl, der Zeit und auf dem Gebiete des moralischen Lebens - mit 
einem vollstandigen Spiegelbild dessen, was wir hier im Physi- 
schen gewohnheitsmaftig eigentlich denken und tun. Wir mussen 
uns daran gewohnen, symmetrisch zu lesen, denn wir mussen das 
konnen, wenn wir den Astralraum betreten. 

Sich gewohnen, symmetrisch zu lesen, kann der Mensch am 
leichtesten, wenn er anknupft an solche elementare mathematische 
Vorstellungen, wie wir sie im verflossenen Vortrag angedeutet 
haben, und wie wir sie in den folgenden Auseinandersetzungen 
immer mehr und mehr kennenlernen werden. Ich mochte zu- 
nachst eine ganz einfache Vorstellung nehmen, namlich anknupfen 



an die Vorstellung eines Quadrates. Stellen Sie sich einmal ein 
Quadrat vor, wie Sie gewohnt sind, es zu sehen (Figur 20). Ich 
werde das Quadrat so zeichnen, daft die vier Seiten desselben in 
vier verschiedenen Farben gezeichnet sind. 



Figur 20 



Dies ist der physische Anblick des Quadrates. Nun mochte ich 
Ihnen zunachst den Devachan- Anblick des Quadrates an die Tafel 
zeichnen. Ganz genau kann man es nicht, ich mochte damit aber 
doch annahernd eine Vorstellung geben, wie im Mentalen ein 
Quadrat aussehen wurde. Das mentale Gegenbild [eines Quadra- 
tes] ist annahernd wie ein Kreuz (Figur 21). 



Figur 21 



Wir haben es in der Hauptsache mit zwei aufeinander senkrecht 
stehenden, sich schneidenden Achsen zu tun. Zwei Linien, die 
durch einander durchlaufen, dann haben Sie es auch. Das physi- 
sche Gegenbild entsteht dadurch, daft auf jede dieser Achsen senk- 
rechte Linien gezogen werden. Das physische Gegenbild eines 
mentalen Quadrates konnen Sie sich am besten vorstellen als Stau- 
ung [zweier sich gegenseitig durchkreuzender Stromungen]. Den- 



ken wir uns diese aufeinander senkrecht stehenden Achsenlinien 
als Stromungen, als Krafte, die vom Schnittpunkt aus nach auften 
wirken, und auf diese Stromungen, nur jetzt in der Richtung von 
aufien nach innen, Gegenstromungen (Figur 22). Dann kommt ein 
Quadrat in die physische Welt dadurch hinein, daft man sich diese 
beiden Arten von Stromungen oder Kraften - die eine von innen, 
die andere von aufien her - als sich gegeneinander stauend vor- 
stellt. Die Kraftestromungen werden also durch Stauungen be- 
grenzt. 



Figur 22 



Damit habe ich ein Bild gegeben, wie sich liberhaupt alles 
Mentale verhalt zum Physischen. Ebenso konnen Sie sich fur jedes 
physische Ding das mentale Gegenbild konstruieren. Das Quadrat 
hier ist nur ein allereinfachstes Beispiel. 

Konnten Sie fur ein jegliches Ding im Physischen ebenso sich 
ein Korrelat konstruieren, das sich zu dem Physischen so verhalt 
wie zwei aufeinander senkrecht stehende Linien sich zu einem 
Quadrat verhalten, dann wiirden Sie fur ein jegliches physisches 
Ding das Devachan- oder Mentalbild erhalten. Mit anderen Sachen 
ist es natiirlich viel komplizierter. 

Denken Sie sich jetzt einmal statt des Quadrates einen WiirfeL 
Der Wiirfel ist dem Quadrat sehr ahnlich. Der Wiirfel ist ein 
Korper, der von sechs Quadraten begrenzt ist. Diese sechs Qua- 
drate, die den Wiirfel begrenzen, hat Herr Schouten extra ge- 
macht. Denken Sie sich nun einmal statt der vier begrenzenden 
Linien, wie sie beim Quadrate vorhanden sind, sechs begrenzende 



Flachen. Denken Sie sich, da£ wir statt der senkrechten Linien als 
Stauung senkrechte Flachen hatten, und nehmen Sie noch ferner 
an, da$ Sie nicht zwei, sondern drei aufeinander [senkrecht] ste- 
hende Achsen haben, dann begrenzen Sie den Wiirfel. Nun kon- 
nen Sie sich wohl auch vorstellen, wie das mentale Korrelat des 
Wiirfels ist. Sie haben wiederum zwei Dinge, die sich gegenseitig 
fordern. Der Wiirfel hat drei aufeinander senkrecht stehende Ach- 
sen und drei Flachenrichtungen; [wir miissen in diesen] drei 
Flachen[richtungen] Stauungswirkungen denken (Figur 23). Die 
drei Achsenfrichtungen] und die sechs Flachen, wie vorher [beim 
Quadrat] die zwei Achsenfrichtungen] und vier Linien, konnen 
wir uns nicht [in einem anderen Verhaltnis] vorstellen, als indem 
wir an einen gewissen Gegensatz denken. 



Figur 23 




Jeder, der etwas nachdenkt, wird sich hier sagen miissen, dafi 
wir uns dies nicht vorstellen konnen, ohne einen gewissen Begriff 
des Gegensatzes zu bilden, namlich den Gegensatz des Wirkens 
und einer Stauung, eines Gegenwirkens. Den Begriff des Gegen- 
satzes miissen Sie hier hineinlegen. Hier ist die Sache noch einfach. 
Dadurch, daft wir uns an geometrischen Begriffen heranranken, 
werden wir es dahin bringen, uns die mentalen Gegenbilder auch 
komplizierterer Dinge sachgemafi zu konstruieren. Dann werden 
wir den Weg finden und einigermafien zu hoherer Erkenntnis 
gelangen. Sie konnen sich aber jetzt schon denken, welche kolos- 



sale Kompliziertheit sich ergibt, wenn Sie sich einen anderen 
Korper denken und Sie sich sein mentales Gegenbild aufsuchen. 
Da kommen viele komplizierte Dinge zum Vorschein. Und wenn 
Sie sich noch einen Menschen denken wiirden und sein mentales 
Gegenbild mit alien raumlichen Formen und seinem Wirken, so 
konnen Sie sich denken, welches komplizierte mentale Gebilde 
dieses gibt. Nur annahernd konnte ich in meinem Buche «Theo- 
sophie» ein Bild davon geben, wie mentale Gegenbilder ungefahr 
aussehen. 

Wir haben drei Ausdehnungen, drei Achsen beim Wiirfel. Auf 
jeder Achse haben wir beiderseits die entsprechenden senkrechten 
Ebenen. Sie miissen also jetzt sich klar sein dariiber, daft der Ge- 
gensatz, von dem ich gesprochen habe, so aufzufassen ist, daft Sie 
sich jede Flache des Wiirfels denken als entstanden so ahnlich, wie 
ich fruher das menschliche Leben beschrieben habe, entstanden als 
ein Durchschnitt zweier Stromungen. Sie konnen sich vorstellen, 
daft vom Mittelpunkt ausgehen Stromungen. Sie denken sich den 
Raum in der einen Achsenrichtung, vom Mittelpunkt aus nach 
auften stromend, und in der anderen Richtung, von der Unend- 
lichkeit her, entgegenstromend eine andere Stromung. Und dies 
[stellen Sie sich vor] in zwei Farben stromend, die eine rot, die 
andere blau. In dem Momente, wo sie zusammentreffen, werden 
sie in eine Flache stromen, wird eine Flache entstehen, so daft wir 
also die Flache des Wiirfels annehmen konnen als das Zusammen- 
treffen zweier entgegengesetzter Stromungen in einer Flache. Das 
gibt eine lebendige Vorstellung von dem, was ein Wiirfel ist. 

Der Wiirfel ist also ein Durchschnitt dreier aufeinander wirken- 
der Stromungen. Wenn Sie sich das zusammendenken, so haben 
Sie es nicht mit drei, sondern mit sechs Richtungen zu tun, mit 
vorwarts-riickwarts, oben-unten, rechts-links. So haben Sie sechs 
Richtungen. Und tatsachlich ist das auch der Fall. Sodann kompli- 
ziert sich die Sache noch dadurch, daft Sie zwei Arten von Stro- 
mungen haben: Die eine in der Richtung von einem Punkt ausge- 
hend, die andere aus der Unendlichkeit entgegenkommend. Dies 
wird Ihnen einen Gesichtspunkt geben zu dem, was die praktische 



Verwertung der hoheren, theoretischen Theosophie ist. Ich habe 
jede Richtung des Raumes aufzufassen als zwei entgegengesetzte 
Stromungen. Und wenn Sie sich dann einen physischen Korper 
vorstellen, dann haben Sie in diesem physischen Korper das Er- 
gebnis dieser zwei ineinanderlaufenden Stromungen. 

Bezeichnen wir nun diese sechs Stromungen, diese sechs Rich- 
tungen, mit sechs Buchstaben ^, c, d, e, f. Wenn Sie sich diese 
sechs Richtungen oder Stromungen vorstellen konnten - das nach- 
ste Mai werden wir dazu kommen, diese Vorstellungen bilden zu 
konnen -, und Sie wiirden davon die erste und letzte, a und /, 
wegdenken, getilgt denken, dann blieben Ihnen vier iibrig. Und 
das bitte ich Sie nun zu beriicksichtigen: Diese vier, die ubrigblei- 
ben, sind die vier, die Sie wahrnehmen konnen, wenn Sie die astra- 
lische Welt allein sehen. 

Ich habe versucht, Ihnen eine Vorstellung zu geben von den 
drei [gewohnlichen Dimensionen] und von drei [weiteren] Dimen- 
sioned die sich eigentlich entgegengesetzt dazu verhalten. Da- 
durch, dafi diese Dimensionen sich entgegengesetzt zueinander 
verhalten und durch ihr Entgegenwirken ein Resultat ergeben, 
entstehen die physischen Korper. Denken Sie sich aber vom Phy- 
sischen etwas [eine Dimension] weg und auf der anderen Seite von 
dem Mentalen etwas [eine Dimension] weg, so bleiben uns vier 
Dimensionen iibrig. Diese stellen dann die zwischen der physi- 
schen und mentalen Welt existierende astrale Welt dar. 

Die Weltbetrachtung des Theosophen ist tatsachlich eine sol- 
che, dafi sie mit einer Geometrie im hoheren Sinne zu arbeiten 
notwendig hat, welche iiber die gewohnliche Geometrie hinaus- 
geht. Der gewohnliche Geometer beschreibt den Wiirfel als von 
sechs Quadraten begrenzt. Wir mussen den Wiirfel auffassen als 
ein Ergebnis von sechs ineinanderlaufenden Stromungen, also als 
Ergebnis einer Bewegung und ihrer Umkehrung, eines Zusam- 
menwirkens entgegengesetzter Krafte. 

Ich mochte Ihnen noch an der groften Natur draufien einen sol- 
chen Begriff zeigen, wo wirklich ein Gegensatz stattgefunden hat, 
der vor den Augen des Menschen ein tiefes Geheimnis des Werdens 



der Welt enthalt. Goethe spricht in dem «Marchen von der Schlange 
und der Lilie» von dem «offenbaren Geheimnis», und das ist eines 
der wahrsten und kliigsten Worte, die iiberhaupt zu pragen sind. 24 
Es ist wahr, es gibt in der Natur Geheimnisse, die mit Handen zu 
greifen sind, aber von den Menschen nicht gesehen werden. Mit 
Umkehrungsprozessen haben wir es in der Natur vielfach zu tun. 
Einen solchen Umkehrungsprozeft mochte ich Ihnen vorfuhren. 

Vergleichen wir einmal den Menschen mit der Pflanze. Der 
Mensch mit der Pflanze verglichen ergibt folgendes. Was ich jetzt 
sage, ist keine Spielerei, wenn es auch zunachst so aussieht wie 
eine Spielerei. Es ist etwas, was auf ein tiefes Mysterium hinweist. 
Was hat die Pflanze im Boden? Die Wurzel. Und nach oben ent- 
wickelt sie Stengel, Blatter, Bliite und Frucht. Das Haupt der 
Pflanze, die Wurzel, steckt in der Erde, und die Organe der Fort- 
pflanzung entwickelt sie nach oben, der Sonne entgegen, was wir 
die keusche Art der Fortpflanzung nennen konnen. Denken Sie 
sich die ganze Pflanze umgekehrt, die Wurzel zum Haupte des 
Menschen gemacht. Dann haben Sie im Menschen, der das Haupt 
oben hat, und dessen Fortpflanzungsorgane unten liegen, die 
umgekehrte Pflanze. Und das Tier steht mitten darinnen, als Stau- 
ung. Wenn Sie die Pflanze umkehren, bekommen sie den Men- 
schen. Mit drei Strichen zeichnen dies deshalb die Okkultisten 
aller Zeiten (Figur 24). 



Figur 24 



Einen [Strich] als Symbolum der Pflanze, einen als [Symbolum] 
des Menschen, und einen entgegengesetzten als das [Symbolum] 
des Tieres - drei Striche, die zusammen das Kreuz bilden. Das 
Tier hat die Querlage, es durchkreuzt also das, was wir mit der 
Pflanze gemeinsam haben. 

Sie wissen, wir sprechen von einer Allseele, von der Plato sagt, 
sie ist an den Weltenleib gekreuzigt, sie ist an das Kreuz des 
Weltenleibes gefesselt. 25 Stellen Sie sich die Weltenseele als Pflan- 
ze, Tier und Mensch vor, so haben Sie das Kreuz. Indem die Welt- 
seele in diesen drei Reichen lebt, lebt sie gefesselt an dieses Kreuz. 
Dadurch werden Sie den Begriff der Stauung erweitert finden. Sie 
werden ihn durch etwas erweitert finden in der Natur. Zwei sich 
erganzende, auseinanderlaufende, [aber] ineinandergreifende Stro- 
mungen bilden Pflanze und Mensch, die Stauung dabei ist das 
Tier. So stellt sich das Tier tatsachlich hinein zwischen eine Auf- 
warts- und eine Abwartsstromung. So stellt sich das Kamaloka 
[Astralsphare] hinein zwischen Devachan und die physische Welt. 
So stellt sich tatsachlich zwischen diese beiden Welten, die sich 
symmetrisch zueinander verhalten, zwischen Devachan und die 
physische Welt, etwas hinein, das dazwischen wirkt, das nach 
beiden Seiten wirkt wie eine Stauungsflache. Der auftere Ausdruck 
dieser Kamaloka-Welt ist die tierische Welt. 

Diejenigen, die schon Organe haben fur diese Welt, die mit 
Kraft ergriffen werden mufS, werden erkennen, was wir in den 
drei Reichen, in ihrer gegenseitigen Beziehung zueinander zu se- 
hen haben. Wenn Sie das Tierreich als hervorgegangen aus einer 
Stauung auffassen, wenn Sie die drei Reiche als gegenseitige Stau- 
ung auffassen, dann werden Sie die Stellung finden, welche das 
Pflanzenreich zu dem Tierreich und das Tierreich zu dem Men- 
schenreich hat. Das Tier steht senkrecht zu den beiden anderen 
Richtungen, und die anderen sind zwei sich erganzende, ineinan- 
dergehende Stromungen. Das [jeweils] niederere Reich dient dem 
hoheren als Nahrungsmittel. Das ist etwas, was einen kleinen 
Lichtblick auf die ganz andere Art der Verwandtschaft zwischen 
Mensch und Pflanze und zwischen Tier und Mensch gestattet. 



Wer sich vom Tiere nahrt, macht sich daher mit einer Stauung 
verwandt. 

Das wirkliche Wirken besteht in der Begegnung entgegenge- 
setzter Stromungen. Das ist ein Anfang zu einer Gedankenreihe, 
die Sie vielleicht spater noch in einer merkwiirdigen Weise ganz 
anders auftreten sehen werden. 

Wir haben also gesehen: Das Quadrat entsteht dadurch, daft 
zwei Achsen durch Linien geschnitten werden. Der Wiirfel ent- 
steht dadurch, dafi drei Achsen durch Flachen geschnitten werden. 
Konnen Sie sich nun denken, daft vier Achsen durch etwas ge- 
schnitten werden? Der Wiirfel ist die Grenze desjenigen Raumge- 
bildes, das entsteht, wenn vier Achsen geschnitten werden. 

Das Quadrat begrenzt den dreidimensionalen Wiirfel. Wir wer- 
den das nachste Mai sehen, wessen Grenze der Wiirfel selber ist. 
Der Wiirfel begrenzt ein vierdimensionales Gebilde. 

Fragenbeantwortung 

[Was bedeutet es, sich] sechs Stromungen zu denken, von denen man sich je 
zwei getilgt vorstellen mufi, und so weiter? 

Die sechs Stromungen miissen gedacht werden als zweimal drei 
Stromungen: drei von innen heraus wirkend gemafi den drei Ach- 
senrichtungen, und die anderen drei als diesen von der Unendlich- 
keit her entgegenstromend. Fur jede Achsenrichtung ergeben sich 
so zwei Arten, eine von innen nach aufien gehend, die andere 
dieser entgegengesetzt von auften kommend nach innen. Setzen 
wir fur die beiden Kategorien positiv und negativ, plus und minus, 
so haben wir: 

+ a -a 
+ b - b 

+ c - c 

Und davon [miissen wir, um zum astralen Raum zu kommen,] 
eine ganze Richtung, [zum Beispiel die] Innen- und AuEenstro- 
mung, getilgt denken, also zum Beispiel +a und -a. 



VIERTER VORTRAG 



Berlin, 24. Mai 1905 

Ich versuchte neulich, schematisch Ihnen eine Vorstellung vom 
vierdimensionalen Raum zu geben. Es wiirde dies aber sehr 
schwer sein, wenn wir nicht in einer Art von Analogie uns ein Bild 
von dem vierdimensionalen Raum zu machen in der Lage waren. 
Wenn es sich darum handelte, unsere Aufgabe zu charakterisieren, 
so wiirde es dies sein: ein vierdimensionales Gebilde aufzuzeigen 
hier im dreidimensionalen Raum. Zunachst stent uns ja nur der 
dreidimensionale Raum zur Verfiigung. Wollen wir sozusagen 
etwas, was uns unbekannt ist, ankniipfen an etwas Bekanntes, so 
mussen wir uns, ebenso wie wir uns ein Dreidimensionales ins 
Zweidimensionale abgebildet haben, ein Vierdimensionales her- 
einholen in die dritte Dimension. Nun mochte ich an der Methode 
des Herrn Hinton 26 moglichst popular zeigen, wie der vierdimen- 
sionale Raum innerhalb der drei Dimensionen abzubilden ist. Ich 
mochte also zeigen, wie diese Aufgabe gelost werden kann. 

Zunachst lassen Sie mich davon ausgehen, wie man den dreidi- 
mensionalen Raum in den zweidimensionalen Raum hineinbringt. 
Unsere Tafel hier ist ein zweidimensionaler Raum. Wiirden wir 
zur Hohe und Breite eine Tiefe hinzunehmen, so hatten wir den 
dreidimensionalen Raum zusammen. Nun wollen wir versuchen, 
uns ein dreidimensionales Gebilde anschaulich auf der Tafel abzu- 
bilden. 

Der Wiirfel ist ein dreidimensionales Gebilde, weil er aus 
Hohe, Breite und Tiefe besteht. Versuchen wir, ihn in den zwei- 
dimensionalen Raum zu bringen, also auf die Ebene. Wenn Sie den 
ganzen Wiirfel nehmen und ihn abrollen, oder besser abwickeln, 
so konnen Sie das auf folgende Art machen. Die Seiten, die sechs 
Quadrate, die wir im dreidimensionalen Raum haben, konnen wir 
einmal ausbreiten in einer Ebene (Figur 25). So konnte ich mir also 
die Begrenzungsflachen des Wiirfels auf der Ebene ausgebreitet 
denken in einer Kreuzesfigur. 



Figur 25 



Es sind sechs Quadrate, die sich wieder zum Wiirfel erganzen, 
wenn ich sie wieder zuriickklappe, - so also, dafi Quadrat 1 und 
3, 2 und 4, und ebenso 5 und 6 einander gegeniiberstehend sind. 
So haben wir ein dreidimensionales Gebilde einfach hineingelegt 
in die Ebene. 

Das ist eine Methode, die wir so nicht unmittelbar gebrauchen 
konnen, um die vierte Dimension in den dreidimensionalen Raum 
zu zeichnen. Dafur miissen wir eine andere Analogie suchen. Wir 
miissen da Farben zu Hilfe nehmen. Dazu werde ich die sechs 
Quadrate ihren Seiten nach mit verschiedenen Farben bezeichnen. 
Die einander [im Wiirfel] gegenuberliegenden Quadrate, wenn sie 
aufgeklappt sind, sollen gleiche Farben haben. Ich werde die 
Quadrate 1 und 3 so zeichnen, dafi die einen Seiten rot [punktierte 
Linien] und die anderen blau [durchgezogene Linien] sind. Nun 
werde ich mal diese Quadrate so erganzen, dafi ich Blau fur die 
ganze horizontale Richtung beibehalte (Figur 26). Ich werde also 
alle diejenigen Seiten, die in diesen Quadraten vertikal sind, rot 
zeichnen, und alle horizontalen blau machen. 



Wenn Sie sich diese zwei Quadrate 1 und 3 ansehen, so haben 
Sie die zwei Dimensionen, die die Quadrate haben, in zwei Far- 
ben, Rot und Blau, ausgedriickt. So wiirde also hier fur uns [an der 
senkrechten Tafel, wo das Quadrat 2 an der Tafel «klebt»] Rot die 
Hohe und Blau die Tiefe bedeuten. 

Halten wir nun das fest, daft wir iiberall, wo die Hohe auftritt, 
Rot anwenden, und dort, wo die Tiefe auftritt, Blau; und dann 
wollen wir fur die dritte Dimension, die Breite, Griin [gestrichelte 
Linie] nehmen. Nun wollen wir uns in dieser Weise den auseinan- 
dergeklappten Wiirfel erganzen. Das Quadrat 5 hat Seiten, welche 
blau und griin sind, also mufi das Quadrat 6 ebenso aussehen. 
Nun bleiben noch die Quadrate 2 und 4 iibrig, und wenn Sie sich 
die aufgeklappt denken, so ergibt sich, daft die Seiten rot und griin 
sein werden. 

Nun sehen Sie, wenn Sie sich das einmal vergegenwartigen, so 
haben wir die drei Dimensionen in drei Farben verwandelt. Fur 
Hohe, Breite, Tiefe sagen wir jetzt Rot [punktiert], Griin [gestri- 
chelt], Blau [durchgezogen], Wir nennen an Stelle der drei Raum- 
dimensionen die drei Farben, die uns also dafiir Bilder sein sollen. 
Wenn Sie sich den ganzen Wiirfel aufgeklappt denken, so konnen 
Sie sich zu zwei Dimensionen die dritte in der Weise erklaren, als 
hatten Sie so zum Beispiel das blau-rote Quadrat [etwa von links 
nach rechts in Figur 26] durch Griin durchmarschieren lassen. Wir 
wollen sagen, Rot und Blau seien durch Griin hindurchgegangen. 
Das Durchmarschieren durch Grim, das Verschwinden in der drit- 
ten Farbendimension, wollen wir bezeichnen als den Durchgang 
durch die dritte Dimension. Denken Sie sich also, der griine Nebel 
farbe dabei das rot-blaue Quadrat, so werden beide Seiten - rot 
wie blau - gefarbt erscheinen. Blau wird ein Blaugriin und Rot 
eine triibe Schattierung annehmen, und erst dort, wo das Griin 
aufhort, werden beide wieder in ihrer eigenen Farbe erscheinen. 
Dasselbe konnte ich mit den Quadraten 2 und 4 machen. Ich liefte 
also das rot-grime Quadrat sich durch einen Raum bewegen, der 
blau ist, und dasselbe konnen Sie dann mit den beiden anderen 
Quadraten 5 und 6 vornehmen, wo das blau-griine Quadrat das 



Rot passieren miifke. Ein jedes Quadrat lassen Sie auf diese Art 
auf der einen Seite verschwinden, in eine andere Farbe untertau- 
chen. Es nimmt durch diese dritte Farbe selbst eine andere Far- 
bung an, bis es auf der anderen Seite wieder in seiner Urspriing- 
lichkeit heraustritt. 

Wir haben so eine sinnbildliche Darstellung unseres Wurfels 
durch drei aufeinander senkrecht stehende Farben. Wir haben 
durch drei Farben einfach die drei Richtungen dargestellt, mit 
denen wir es hier zu tun haben. Wenn wir uns vorstellen wollen, 
welche Veranderung die drei Paare der Quadrate erlitten haben, so 
konnen wir es dadurch, dafi einmal die Quadrate durchgehen 
durch das Griin, das zweite Mai gehen sie durch das Rot, und das 
dritte Mai durch das Blau durch. 

Nun denken Sie sich statt dieser [gefarbten] Linien einmal 
selbst Quadrate und fur den blofien Raum auch iiberall selbst 
Quadrate. Dann kann ich die ganze Figur noch anders zeichnen 
(Figur 27). Wir zeichnen uns das Durchgangsquadrat blau, und die 
beiden, welche durchgehen - vor und nach dem Durchgang -, 
zeichnen wir oben und unten daneben, also hier rot-grim. [In 
einem zweiten Schritt] nehme ich das rote Quadrat als dasjenige, 
welches die blau-griinen Quadrate durch sich hindurchgehen lafit. 
Und [in einem dritten Schritt] haben wir hier das griine Quadrat. 
Durch das griine Quadrat gehen die zwei entsprechenden anderen 
Farben durch, also Rot und Blau. 

Sie sehen, jetzt habe ich Ihnen hier eine andere Form der Aus- 
breitung gezeigt mit neun nebeneinanderliegenden Quadraten, 
wovon aber nur sechs [Begrenzungen] am Wiirfel selbst sind, 
namlich die oben und unten in der Figur gezeichneten Quadrate 
(Figur 27). Die anderen drei [mittleren] Quadrate sind Durch- 
gangsquadrate, die nichts anderes bezeichnen, als das Verschwin- 
den der einzelnen Farben in einer dritten [Farbe]. [Fur die Durch- 
gangsbewegung haben wir] also immer zwei Dimensionen zusam- 
menzunehmen, weil jedes dieser Quadrate [in der oberen und 
unteren Reihe] aus zwei Farben zusammengesetzt ist und in der 
Farbe verschwindet, die es nicht selbst enthalt. Damit diese Qua- 



drate [jeweils wieder] auf der anderen Seite erscheinen, lassen wir 
sie also in der dritten Farbe verschwinden. Rot und Blau ver- 
schwinden durch Griin, Rot und Griin haben kein Blau, ver- 
schwinden also durch Blau [und Griin und Blau verschwinden 
durch Rot]. 



Figur 27 



So also, sehen Sie, haben wir hier die Moglichkeit, unseren 
Wiirfel durch Quadrate aus zwei Farbendimensionen zusammen- 
zusetzen, die durch die dritte Farbendimension hindurchgehen. 27 

Nun liegt es nahe, da(5 wir uns statt der Quadrate Wurfel vor- 
stellen und setzen dabei die Wurfel aus drei Farbendimensionen 
zusammen - ebenso wie wir das Quadrat aus zweierlei gefarbten 
Linien zusammengesetzt haben -, so da$ wir drei Farben haben, 
nach den drei Dimensionen des Raumes. Wollen wir nun dasselbe 
machen, was wir beim Quadrat gemacht haben, so mussen wir 
eine vierte Farbe hinzunehmen. Dadurch werden wir den Wurfel 
ebenso verschwinden lassen [konnen], naturlich nur durch eine 
Farbe, die er nicht selbst hat. - Statt der drei Durchgangsquadrate 
haben wir nun einfach vier Durchgangswiirfel aus vier Farben: 
Blau, Weifi, Griin und Rot. Also statt des Durchgangsquadrates 
haben wir den Durchgangswiirfel. Herr Schouten hat nun in sei- 
nen Modellen diese farbigen Wurfel hergestellt. 28 



Nun mussen wir, wie wir hier ein Quadrat durch ein anderes 
gehen liefien, das nicht seine Farbe hat, so mussen wir jetzt einen 
Wiirfel durch einen anderen durchgehen lassen, der seine Farbe 
nicht hat. Wir lassen also den werft-rot-griinen Wiirfel durch einen 
blauen hindurchgehen. Er wird auf der einen Seite in die vierte 
Farbe untertauchen und auf der anderen Seite wieder in seinen 
[urspriinglichen] Farben erscheinen (Figur 28.1). 





4- 









S 3 










y 






U 






3 








u 




3 



Figur 28 

So haben wir hier eine [Farben-JDimension, die von zwei 
Wiirfeln begrenzt wird, die drei farbige Flachen haben. In dersel- 
ben Weise mussen wir nun durch den weifien Wiirfel den griin- 
blau-roten Wiirfel durchgehen lassen (Figur 28.2), ebenso dann 
den blau-weifi-roten Wiirfel durch das Griin (Figur 28.3). Bei der 
letzten Figur (Figur 28.4) haben wir einen blau-griin-weiften 
Wiirfel, der durch eine rote Dimension durchgehen mu6, das 
heifk, in einer Farbe verschwinden mufi, die er nicht selbst hat, urn 
nachher wieder in seinen ureigenen Farben auf der anderen Seite 
zu erscheinen. 

Diese vier Wiirfel verhalten sich genauso wie vorhin unsere drei 
Quadrate. Wenn Sie sich nun klarmachen, da$ wir sechs Quadrate 



brauchen, damit ein Wiirfel begrenzt wird, so haben wir acht 
Wiirfel notig, 29 um ein analoges vierdimensionales Gebilde, den 
Tessarakt, zu begrenzen. 30 Wie wir dort drei Hilfsquadrate be- 
kommen haben, die nur das Verschwinden durch die andere Di- 
mension bedeuten, so bekommen wir hier im ganzen zwolf Wiir- 
fel, welche sich zueinander so verhalten, wie diese neun Figuren in 
der Ebene sich verhalten. Dann haben wir dasselbe mit dem 
Wiirfel getan, was wir friiher mit den Quadraten taten, und indem 
wir jedesmal eine neue Farbe wahlten, trat eine neue Dimension 
zu den andern hinzu. So denken wir uns also, wir stellen farben- 
bildlich einen Korper dar, der vier Dimensionen hat dadurch, daft 
wir nach vier Richtungen hin vier verschiedene Farben haben, 
wobei jeder [einzelne] Wiirfel drei Farben hat und durch die vierte 
[Farbe] hindurchgeht. 

Der Sinn, den dieses Ersetzen der Dimensionen durch die Far- 
ben hat, besteht darin, daft wir, solange wir bei den [drei] Dimen- 
sionen bleiben, die drei Dimensionen nicht in die [zweidimensio- 
nale] Ebene bringen konnen. Nehmen wir aber dafiir drei Farben, 
so konnen wir es tun. Ebenso machen wir es mit vier Dimensio- 
nen, wenn wir sie durch [vier] Farben im dreidimensionalen Raum 
zur bildlichen Darstellung bringen wollen. Das ist zunachst eine 
Art, wie ich Sie auf die doch sonst komplizierten Dinge hinleiten 
mochte, und wie sie Hinton in seinem Problem [der dreidimensio- 
nalen Darstellung vierdimensionaler Gebilde] gebraucht hat. 

Ich mochte nun noch einmal den Wiirfel in der Ebene ausbrei- 
ten, ihn nochmals in die Ebene umlegen. Das will ich an die Tafel 
zeichnen. Sehen Sie zunachst von dem untersten Quadrat [der 
Figur 25] ab, und denken Sie sich, daft Sie nur zweidimensional 
sehen konnten, also nur das sehen konnten, was in der Flache der 
Tafel ausgebreitet ist. Wenn wir fiinf Quadrate so zusammenge- 
fiigt haben, wie in diesem Falle, daft sie so gelagert sind, daft das 
eine Quadrat in die Mitte hineinkommt, so bleibt diese innere 
Flache unsichtbar (Figur 29). Sie konnen von alien Seiten herum- 
gehen. Sie konnen Quadrat 5, da Sie nur in zwei Dimensionen 
sehen konnen, nicht erblicken. 



Figur 29 



Nun wollen wir einmal dieselbe Sache, die wir hier mit fiinf von 
den sechs Seitenquadraten des Wiirfels angestellt haben, mit sieben 
von den acht Grenzwiirfeln machen, die den Tessarakt bilden, 
wenn wir unser vierdimensionales Gebilde in den Raum ausbrei- 
ten. Ich will die sieben Wiirfel analog legen, wie ich es mit den 
Flachen des Wiirfels auf der Tafel tat; nur haben wir jetzt Wiirfel, 
wo wir vorher Quadrate hatten. Nun haben wir hier die entspre- 
chende Raumfigur, ganz analog geformt. Damit haben wir dassel- 
be fur den dreidimensionalen Raum, was wir vorher fur die zwei- 
dimensionale Flache hatten. Wie vorher ein Quadrat, so ist jetzt 
der siebente Wiirfel vollstandig von alien Seiten verdeckt, den ein 
Wesen, das [blofi] die Fahigkeit zum dreidimensionalen Schauen 
hat, niemals wird sehen konnen (Figur 30). Konnten wir diese 
Figuren so zusammenklappen wie die sechs abgewickelten Qua- 
drate des Wiirfels, so konnten wir aus der dritten in die vierte 
Dimension iibergehen. Wir haben gezeigt, wie man sich davon 
durch Farben-Ubergange eine Vorstellung bilden kann. 31 




Damit haben wir wenigstens gezeigt, wie man sich, trotzdem 
die Menschen nur drei Dimensionen wahrnehmen konnen, doch 
einen vierdimensionalen Raum vorstellen kann. Nun konnten Sie 
sich noch fragen, wie man von dem wirklichen vierdimensionalen 
Raum eine mdgliche Vorstellung gewinnen kann. Und da mochte 
ich Sie hinweisen auf etwas, das man das eigentliche «alchemisti- 
sche Geheimnis» nennt. Denn die wirkliche Anschauung des vier- 
dimensionalen Raumes hangt in gewisser Weise mit dem zusam- 
men, was die Alchemisten «Verwandlung» nannten. 

[Erste Textvariante:] Derjenige, welcher eine wirkliche Anschau- 
ung von dem vierdimensionalen Raum sich erwerben will, mufi 
ganz bestimmte Anschauungsiibungen machen. Diese bestehen 
darin, daft er sich zunachst eine ganz klare Anschauung, eine ver- 
tiefte Anschauung, nicht Vorstellung, bildet von dem, was man 
Wasser nennt. Eine solche Anschauung von dem Wasser ist nicht 
so leicht zu kriegen. Man mufi lange meditieren und sich sehr 
genau in die Natur des Wassers vertiefen, man mufi sozusagen 
hineinkriechen in die Natur des Wassers. Das zweite ist, daft man 
sich eine Anschauung verschafft von der Natur des Lichtes. Das 
Licht ist etwas, was der Mensch zwar kennt, aber nur so kennt, 
wie er es von Aufien empfangt. Nun kommt der Mensch dadurch, 
daft er meditiert, dazu, das innere Gegenbild des aufteren Lichtes 
zu bekommen, zu wissen, wodurch und woher das Licht entsteht, 
so daft er dadurch selbst so etwas wie Licht hervorbringen, erzeu- 
gen kann. Diese Fahigkeit, Licht hervorbringen, erzeugen zu kon- 
nen, eignet sich der Yogi [Geheimschuler] an durch Meditation. 
Das kann derjenige, welcher reine Begriffe wirklich meditativ in 
seiner Seele anwesend zu haben vermag, der reine Begriffe wirk- 
lich meditativ auf seine Seele wirken laftt, der sinnlichkeitsfrei 
denken kann. Dann entspringt dem Begriffe das Licht. Dann geht 
ihm die ganze Umwelt auf als flutendes Licht. Der Geheimschuler 
mufi nun gleichsam chemisch verbinden die Anschauung, die er 
sich von Wasser gebildet hat, mit der Anschauung des Lichtes. 
Das vom Licht ganz durchdrungene Wasser ist ein Korper, der 



von den Alchemisten genannt wird Merkurius. Wasser plus Licht 
heifit in der Sprache der Alchemisten Merkurius. Dieses alchemi- 
stische Merkur ist aber nicht das gewohnliche Quecksilber. Sie 
werden die Sache nicht in dieser Form [iiberliefert] erhalten haben. 
Man mull erst in sich die Fahigkeit erwecken, aus dem [Umgehen 
mit den reinen] Begriffen selbst das Licht zu erzeugen. Merkurius 
ist diese Vermischung [des Lichtes] mit der Anschauung des Was- 
sers, diese lichtdurchdrungene Wasserkraft, in deren Besitz man 
sich dann versetzt. Das ist das eine Element der astralischen Welt. 

Das zweite [Element] entsteht dadurch, daft man sich, ebenso 
wie man vom Wasser sich eine Anschauung gebildet hat, man sich 
von der Luft eine Anschauung bildet, daft wir also die Kraft der 
Luft durch einen geistigen Vorgang heraussaugen. Wenn Sie [auf 
der anderen Seite Ihr] Gefuhl in sich in gewisser Weise konzen- 
trieren, so erzeugen, so entziinden Sie durch das Gefuhl das Feuer. 
[Wenn Sie die Kraft der Luft gleichsam chemisch verbinden mit 
dem durch Gefuhl erzeugten Feuer, so] bekommen Sie «Feuer- 
luft». Sie wissen, daft in Goethes «Faust» von Feuerluft gespro- 
chen wird. 32 Das ist etwas, wo das Innere des Menschen mitarbei- 
ten mufi. Also das eine Element wird [aus einem gegebenen Ele- 
ment, der Luft,] herausgesogen, das andere [das Feuer oder die 
Warme] wird von Ihnen selbst erzeugt. Diese Luft plus Feuer 
nannten die Alchemisten Schwefel, Sulfur, leuchtende Feuerluft. 

Wenn Sie nun diese leuchtende Feuerluft in einem waftrigen 
Elemente haben, dann haben Sie in Wahrheit jene [astrale] Mate- 
rie, von der es in der Bibel heiftt: und der Geist Gottes schwebte, 
oder briitete, iiber den «Wassern». 33 

[Das dritte Element entsteht, wenn] man der Erde die Kraft 
entzieht und das dann verbindet mit den [geistigen Kraften im] 
«Schall»; dann hat man das, was [hier] Geist Gottes genannt wird. 
Daher wird es auch «Donner» genannt. [Wirkender] Geist Gottes 
ist Donner, ist Erde plus Schall. Der Geist Gottes [schwebt also 
liber der] astralen Materie. 

Jene «Wasser» sind nicht gewohnliche Wasser, sondern was 
man eigentlich astrale Materie nennt. Diese besteht aus vier Arten 



von Kraften: Wasser, Luft, Licht und Feuer. Die Anordnung die- 
ser vier Krafte stellt sich der astralischen Anschauung als die vier 
Dimensionen des astralen Raumes dar. So sind sie in der Wirklich- 
keit. Es sieht im Astralen eben ganz anders aus als in unserer Welt. 
Manches, was als astral aufgefafk wird, ist nur eine Projektion des 
Astralen in den physischen Raum. 

Sie sehen, dasjenige, was astral ist, ist halb subjektiv [das heilk 
dem Subjekt passiv gegeben], halb Wasser und Luft, denn Licht 
und Gefiihl [Feuer] sind objektiv, [das heiftt vom Subjekt tatig zur 
Erscheinung gebracht]. Nur einen Teil von dem, was astral ist, 
kann man aufien [als dem Subjekt gegeben] finden, aus der Um- 
welt gewinnen. Den anderen Teil mufi man subjektiv [durch eige- 
ne Tatigkeit] dazubringen. Aus Begriffs- und Gefuhlskraften ge- 
winnt man [aus dem Gegebenen] durch [tatige] Objektivierung 
das andere. Im Astralen haben wir also Subjektiv-Objektives. 

Im Devachan gibt es gar keine [fur das Subjekt blofi gegebene] 
Objektivitat mehr. Man wurde dort ein vollig subjektives Element 
haben. 

Wir haben eben da etwas, was der Mensch erst [aus sich heraus] 
erzeugen muE, wenn wir vom astralen Raum sprechen. So ist alles, 
was wir hier tun, das Symbolische, [nur] eine sinnbildliche Dar- 
stellung fur die hoheren Welten, fur die devachanische Welt, die in 
der Art wirklich sind, wie ich es Ihnen in diesen Andeutungen 
auseinandergesetzt habe. Es ist das, was in diesen hoheren Welten 
liegt, nur dadurch zu erreichen, dafi man in sich selbst neue An- 
schauungsmoglichkeiten entwickelt. Der Mensch mufi selbst etwas 
dazu tun. 

[Zweite Textvariante (Vegelahn):] Derjenige, welcher eine wirk- 
liche Anschauung des vierdimensionalen Raumes sich erwerben 
will, mufi ganz bestimmte Anschauungsiibungen machen. Er bil- 
det sich zunachst eine ganz klare, vertiefte Anschauung vom 
Wasser. Eine solche Anschauung ist nicht so ohne weiteres zu 
bekommen, man mull sich sehr genau in die Natur des Wassers 



vertiefen; man mufi sozusagen hineinkriechen in das Wasser. Das 
zweite ist, daft man sich eine Anschauung von der Natur des Lich- 
tes verschafft; das Licht ist etwas, was der Mensch zwar kennt, 
aber nur so, dafi er es von auften empfangt; durch das Meditieren 
kann er das innere Gegenbild des Lichtes bekommen, wissen, 
woher Licht entsteht, und daher selbst Licht hervorbringen. Das 
kann derjenige, der reine Begriffe wirklich meditativ auf seine 
Seele wirken la$t, der ein sinnlichkeitsfreies Denken hat. Dann 
geht ihm die ganze Umwelt als flutendes Licht auf, und nun mufi 
er gleichsam chemisch die Vorstellung, die er sich vom Wasser 
gebildet hat, mit der des Lichtes verbinden. Dieses von Licht ganz 
durchdrungene Wasser ist ein Korper, der von den Alchemisten 
«Merkurius» genannt wurde. Das alchemistische Merkur ist aber 
nicht das gewohnliche Quecksilber. Erst nurft man in sich die 
Fahigkeit erwecken, aus dem Begriff des Lichtes Merkurius zu 
erzeugen. Merkurius, lichtdurchdrungene Wasserkraft, ist dasjeni- 
ge, in dessen Besitz man sich dann versetzt. Das ist das eine Ele- 
ment der astralen Welt. 

Das zweite entsteht dadurch, daft Sie sich ebenso eine anschau- 
liche Vorstellung von der Luft machen, dann die Kraft der Luft 
durch einen geistigen Vorgang heraussaugen, sie mit dem Gefuhl 
in sich verbinden, und Sie entziinden so den Begriff «Warme», 
«Feuer», dann bekommen Sie «Feuerluft». Also das eine Element 
wird herausgesogen, das andere wird von Ihnen selbst erzeugt. 
Dieses - Luft und Feuer - nannten die Alchemisten «Schwefel», 
Sulfur, leuchtende Feuerluft. I'm waftrigen Elemente, da haben Sie 
in Wahrheit jene Materie, von der es heifk: «und der Geist Gottes 
schwebte iiber den Wassern». 

Das dritte Element ist «Geist-Gott», das ist «Erde» verbunden 
mit «Schall». Das ist eben was entsteht, wenn man der Erde die 
Krafte entzieht und mit dem Schall verbindet. Jene «Wasser» sind 
nicht gewohnliche Wasser, sondern was man eigentlich astrale 
Materie nennt. Diese besteht aus vier Arten von Kraften: Wasser, 
Luft, Licht und Feuer. Und das stellt sich dar als die vier Dimen- 
sionen des astralen Raumes. 



Sie sehen, dasjenige, was astral ist, ist halb subjektiv; nur einen 
Teil dessen, was astral ist, kann man aus der Umwelt gewinnen; 
aus Begriffs- und Gefuhlskraften gewinnt man durch Objektivie- 
rung das andere. Im Devachan wiirde man ein vollig subjektives 
Element haben; dort gibt es keine Objektivitat. So ist alles, was 
wir hier tun, das Symbolische, eine sinnbildliche Darstellung fiir 
die devachanische Welt. Alles, was in den hoheren Welten liegt, ist 
nur dadurch zu erreichen, daft Sie neue Anschauungen in sich 
selbst entwickeln. Der Mensch raufi selbst etwas dazu tun. 



FUNFTER VORTRAG 



Berlin, 31. Mai 1905 



Wir haben das letzte Mai versucht, uns eine Vorstellung eines vier- 
dimensionalen Raumgebildes zu verschaffen. Um es uns zu veran- 
schaulichen, haben wir es auf ein dreidimensionales reduziert. 
Zunachst sind wir davon ausgegangen, ein dreidimensionales 
Raumgebilde in ein zweidimensionales zu verwandeln. Wir setz- 
ten statt der Dimensionen Farben ein. Wir haben die Vorstellung 
so ausgebildet, daft ein Wurfel langs der drei Dimensionen in drei 
Farben erschien. Dann legten wir die Grenzen eines Wurfels auf 
die Ebene hin, das ergab uns sechs Quadrate in verschiedenen 
Farben. Durch die Verschiedenheit der Farben der einzelnen Sei- 
ten ergaben sich uns die drei verschiedenen Dimensionen im zwei- 
dimensionalen Raum. Wir hatten dreierlei Farben, und damit hat- 
ten wir die drei Dimensionen reprasentiert. 

Wir haben uns dann vorgestellt, daft wir ein Wurfelquadrat in 
die dritte Dimension hiniiberleiten so, wie wenn wir es durch 
einen farbigen Nebel hiniiberleiteten und es auf der anderen Seite 
wieder erscheint. Wir stellten uns dabei vor, daft wir Durchgangs- 
Quadrate haben, so daft durch diese Quadrate die Wiirfelquadrate 
sich hindurchbewegen und sich dadurch [mit der Farbe des 
Durchgangs-Quadrates] tingieren. So haben wir versucht, uns den 
[dreidimensionalen] Wurfel [vermoge einer zweidimensionalen 
Farbendarstellung] vorzustellen. [Fur die eindimensionale Darstel- 
lung der] Flachen haben wir also zwei Grenzfarben und [fur die 
zweidimensionale Darstellung des] Wurfels drei Farben. [Um ein 
vierdimensionales Raumgebilde im dreidimensionalen Raum ab- 
zubilden, mussen wir] dann eine vierte Grenzfarbe hinzunehmen. 

Nun mussen wir uns in der gleichen Weise vorstellen, daft ein 
Wurfel, der, analog wie unser Quadrat, zwei verschiedene Farben 
hat als Grenzseiten, drei verschiedene Farben hat in seinen Grenz- 
flachen. Und schlieftlich bewegt sich jeder Wurfel durch einen 
anderen Wurfel, der die entsprechende vierte Farbe hat. Dabei 



lassen wir ihn also verschwinden in der vierten Farbendimension. 
Wir lassen also nach der Analogie von Hinton die jeweiligen 
Grenz-Wiirfel durch die neue [vierte] Farbe hindurchgehen, die 
dann auf der anderen Seite wieder erscheinen, auftauchen in ihrer 
[urspriinglichen] eigenen Farbe. 




Nun will ich Ihnen eine andere Analogie geben und zunachst 
die drei Dimensionen wieder auf zwei reduzieren, so daft wir [an- 
schliefiend] imstande sein werden, vier Dimensionen auf drei zu 
reduzieren. Dazu miissen wir uns das folgende vorstellen. Der 
Wurfel kann an seinen Grenzflachen zusammengesetzt werden aus 
seinen sechs Grenz-Quadraten; statt aber nun, wie neulich, die 
Ausbreitung hintereinander [zusammenhangend] vorzunehmen, 
wird sie jetzt auf eine andere Weise geschehen. Ich werde auch 
diese Figur hinzeichnen (Figur 31). Sie sehen, wir'haben jetzt auf 
diese Weise den Wurfel ausgebreitet in zwei Systeme, deren jedes 
in der Ebene liegt und aus je drei Quadraten besteht. Nun miissen 
wir uns klar werden dariiber, wie diese verschiedenen Gebiete lie- 
gen werden, wenn wir den Wurfel wirklich zusammensetzen. Ich 
bitte Sie, sich das folgende klar zu machen. Wenn ich nun den 
Wurfel aus diesen sechs Quadraten wieder zusammensetzen will, 
so mufi ich die beiden Abteilungen so ubereinanderlegen, dafi 
Quadrat 6 iiber Quadrat 5 zu liegen kommt. Wenn auf diese 
Weise Quadrat 5 unten zu liegen kommt, mufi ich die Quadrate 1 



und 2 hochklappen, die Quadrate 3 und 4 dagegen nach unten 
hinunterklappen (Figur 32). Dabei bekommen wir also gewisse 
korrespondierende Linien, die sich gegenseitig decken. Die in der 
Figur mit gleicher Farbe [hier in gleicher Strichqualitat und in 
gleicher Strichzahl] markierten Linien werden zusammenfallen. 
Das, was hier in der Ebene, im zweidimensionalen Raum, liegt, 
fallt in gewisser Weise zusammen, wenn ich in den dreidimensio- 
nalen Raum iibergehe. 




Das Quadrat besteht aus vier Seiten, der Wiirfel aus sechs 
Quadraten, und das vierdimensionale Gebiet muftte dann aus acht 
Wiirfeln bestehen. 29 Dieses vierdimensionale Gebiet nennen wir 
[nach Hinton] Tessarakt. Nun handelt es sich darum, dafi diese 
acht Wiirfel nicht wiederum einfach zu einem Wiirfel zusammen- 
gesetzt werden diirfen, sondern da$ immer einer [dieser acht 
Wiirfel] in entsprechender Weise durch die vierte Dimension 
durchgehen miilke. 

Will ich nun dasselbe mit dem Tessarakt machen, was ich eben 
mit dem Wiirfel getan habe, so muE ich dasselbe Gesetz einhalten. 
Es handelt sich darum, Analogien zu finden des Dreidimensiona- 
len zum Zweidimensionalen und dann des Vierdimensionalen zum 
Dreidimensionalen. Wie ich nun hier zwei Systeme von [je drei] 
Quadraten erhielt, so ergibt sich beim Tessarakt dasselbe mit 
[zwei Systemen von je vier] Wiirfeln, wenn ich ein vierdimen- 
sionales Tessarakt in den dreidimensionalen Raum abfalte. Das 
System von acht Wiirfeln ist sehr geistreich ausgedacht. Dieses 
Gebilde wird dann so aussehen (Figur 33). 

Dabei sind jedesmal diese vier Wiirfel im dreidimensionalen 
Raum genau so zu nehmen, wie diese Quadrate im zweidimensio- 




nalen Raum. Sie miissen sich nur genau anschauen, was ich hier 
gemacht habe. Bei dem Abklappen des Wiirfels in den zweidimen- 
sionalen Raum ergab sich ein System von sechs Quadraten; bei der 
entsprechenden Prozedur am Tessarakt erhalten wir ein System 
von acht Wiirfeln (Figur 34). Wir haben die Betrachtung fur den 
dreidimensionalen Raum auf den vierdimensionalen Raum iiber- 
gefuhrt. [Dem Hochklappen und Zusammenfugen der Quadrate 
im dreidimensionalen Raum entspricht das Hochklappen und 
Zusammenfugen der Wiirfel im vierdimensionalen Raum.] Bei 
dem abgeklappten Wiirfel ergaben sich [in der zweidimensionalen 
Ebene] verschiedene korrespondierende Linien, die sich beim spa- 
teren Wiederhochklappen deckten. Ein gleiches findet statt mit 
den Flachen unserer einzelnen Wiirfel des Tessaraktes. [Beim ab- 
geklappten Tessarakt im dreidimensionalen Raum ergeben sich bei 
den entsprechenden Wiirfeln korrespondierende Flachen.] Es 
wiirde also etwa beim Tessarakt die obere horizontale Flache des 




Wiirfels 1 - durch Beobachtung [Vermittlung] der vierten Dimen- 
sion - mit der vorderen Flache des Wiirfels 5 zusammenfallen. 

In gleicher Weise fallt die rechte Flache des Wiirfels 1 mit dem 
vorderen Quadrat des Wiirfels 4, und ebenso das linke Quadrat 
des Wiirfels 1 mit dem vorderen Quadrat des Wiirfels 3 [sowie das 
untere Quadrat des Wiirfels 1 mit dem vorderen Quadrat des 
Wiirfels 6] zusammen. [Ganz Entsprechendes gilt fur die iibrigen 
Wurfelflachen.] Es bleibt iibrig der von den sechs anderen einge- 
schlossene Wiirfel 7. 34 

Sie sehen, daft es sich hier wieder darum handelt, Analogien zu 
finden zwischen der dritten und vierten Dimension. Ebenso wie 
ein von vier Quadraten eingeschlossenes fiinftes Quadrat - wie 
wir dies an der entsprechenden Figur des vorigen Vortrages gese- 
hen haben (Figur 29) - dem nur zweidimensional schauenden 
Wesen unsichtbar bleibt, so ist dies hier mit dem siebenten Wiirfel 
der Fall: er bleibt dem dreidimensionalen Auge verborgen. Diesem 
siebenten Wiirfel entspricht beim Tessarakt ein achter Wiirfel, der, 
da wir hier einen vierdimensionalen Korper haben, als Gegenstiick 
zum siebenten in der vierten Dimension liegt. 

Es laufen alle Analogien darauf hinaus, uns vorzubereiten auf 
die vierte Dimension. Es zwingt uns nichts, [innerhalb der blofien 
Raumesanschauung] zu den gewdhnlichen Dimensionen die ande- 
ren Dimensionen [hinzuzufiigen]. Im AnschluE an Hinton konn- 
ten wir uns auch hier Farben hinzudenken und uns Wiirfel so 
zusammengefiigt denken, dafi die entsprechenden Farben zusam- 
menkommen. Es ist auf eine andere Weise [als durch solche Ana- 
logien] kaum moglich, eine Anleitung zu geben, wie man sich ein 
vierdimensionales Gebilde zu denken hat. 

Nun mochte ich noch auf eine andere Weise [der Darstellung 
vierdimensionaler Korper im dreidimensionalen Raum] zu spre- 
chen kommen, die Ihnen vielleicht auch noch die Moglichkeit 
geben wird, das besser einzusehen, um was es sich hier eigentlich 
handelt. Dieses hier ist ein Oktaeder, das von acht Dreiecken be- 
grenzt ist, wobei die Seitenflachen in stumpfen Winkeln aneinan- 
derstofien (Figur 35). 



T 

Figur 35 

Wenn Sie sich dieses Gebilde hier vorstellen, so bitte ich Sie, 
mit mir in Gedanken folgende Prozedur vorzunehmen. Sie sehen, 
hier ist immer eine Flache von einer anderen geschnitten. Hier 
zum Beispiel in AB stolen zwei Seitenflachen zusammen, und hier 
in EB stolen zwei zusammen. Der ganze Unterschied zwischen 
Oktaeder und Wiirfel liegt im Schnittwinkel der Seitenflachen. 
Wenn sich Flachen so wie beim Wiirfel [rechtwinklig] schneiden, 
so entsteht ein Wiirfel. Wenn sie sich aber so schneiden wie hier 
[stumpf], so entsteht ein Oktaeder. Es handelt sich darum, dafi wir 
Flachen unter den verschiedensten Winkeln sich schneiden lassen, 
dann bekommen wir die verschiedensten Raumgebilde. 35 



Figur 36 




Denken Sie sich nun, wir konnten hier dieselben Flachen des 
Oktaeders auch in anderer Weise zum Schneiden bringen. Denken 
Sie sich diese Flache hier, zum Beispiel AEB, nach alien Seiten 
fortgesetzt, und diese untere hier, BCF, auch (Figur 36). Dann 



ebenso die riickwarts liegenden ADF und EDC. So miissen sich 
dann diese Flachen ebenfalls schneiden, und zwar schneiden sie 
sich hier doppelt symmetrisch. Wenn Sie diese Flachen in dieser 
Weise verlangern, so fallen [vier der urspriinglichen Grenzflachen] 
fort: ABF y EBC und nach riickwarts EAD und DCF. Von acht 
Flachen bleiben also vier ubrig. Und die vier, die dann bleiben, die 
geben dieses Tetraeder, das man auch die Halfte eines Oktaeders 
nennt. Es ist deshalb die Halfte eines Oktaeders, weil es die Halfte 
der Flachen des Oktaeders zum Schnitt bringt. Es ist also nicht so, 
daft man das Oktaeder in der Mitte zerschneidet. [Bringt man die 
iibrigen vier Flachen des Oktaeders zum Schnitt, so entsteht eben- 
falls ein Tetraeder, das mit dem ersten Tetraeder zusammen genau 
das Oktaeder als gemeinsames Schnittgebilde besitzt.] In der Ste- 
reometric [geometrischen Kristallographie] bezeichnet man nicht 
das als die Halfte, was halbiert wird, sondern das, was durch die 
Halbierung der [Anzahl der] Flachen entsteht. Beim Oktaeder ist 
das ganz leicht vorzustellen. 36 

Wenn Sie sich den Wiirfel in derselben Weise halbiert denken, 
wenn Sie sich also hier eine Flache mit der entsprechenden andern 
sich schneiden lassen, so bekommen Sie immer wieder einen 
Wiirfel. Die Halfte eines Wiirfels ist wieder ein Wiirfel. Daraus 
mochte ich einen wichtigen Schluft ziehen, will aber dazu noch 
vorher etwas anderes zu Hilfe nehmen. 37 

Hier habe ich einen Rhombenzwolfflachner [Rhombendodeka- 
eder] (Figur 37). Sie sehen, daft die Flachen unter gewissen Win- 
keln aneinandergrenzen. Es ist nun hier zu gleicher Zeit ein Sy- 
stem von vier Drahten zu sehen, welche ich Achsendrahte nennen 
mochte, und die zueinander gegenlaufig sind, [das heiftt gewisse 
einander gegeniiberliegende Ecken des Rhombendodekaeders mit- 
einander verbinden, also Diagonalen sind]. Diese Drahte stellen 
nun in einer ahnlichen Weise ein System von Achsen dar, wie Sie 
es sich vorstellten, daft am Wiirfel ein System von Achsen ist. 38 

Den Wiirfel bekommt man, wenn man bei einem System von 
drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen dadurch Schnittfla- 
chen hervorbringt, daft in jeder dieser Achsen Stauungen eintreten. 



Figur 37 



Lafit man die Achsen unter anderen Winkeln sich schneiden, so 
bekommt man ein anderes Raumgebilde. Das Rhombendodeka- 
eder hat Achsen, die sich unter anderen als rechten Winkeln 
schneiden. 39 

Der Wiirfel gibt halbiert [wieder] sich selbst. Dies trifft aber 
nur beim Wiirfel zu. Das Rhombendodekaeder, in seinen halben 
Flachen zum Schnitt gebracht, gibt ebenfalls ein anderes Raum- 
gebilde. 40 



Figur 38 




Nehmen wir nun das Verhaltnis des Oktaeders zum Tetraeder. 
Und zwar will ich Ihnen sagen, was da gemeint ist. Das tritt klar 
hervor, wenn wir allmahlich das Oktaeder in das Tetraeder iiber- 
gehen lassen. Nehmen wir zu diesem Zwecke ein Tetraeder, dem 
wir, wie an einer Spitze angedeutet, die Ecken abschneiden (Figur 
38). Setzen wir dies fort, bis die Schnittflachen sich an den Kanten 
des Tetraeders begegnen; dann bleibt iibrig das angedeutete Okta- 



eder. So bekommen wir aus einem Raumgebilde, das durch vier 
Flachen begrenzt ist, ein achtseitiges Gebilde, wenn wir unter 
entsprechenden Winkeln die Ecken abschneiden. 



Figur 39 




Dasselbe, was ich hier mit dem Tetraeder gemacht habe, konnen 
Sie wiederum nicht mit dem Wiirfel machen. 41 Der Wiirfel hat ganz 
besondere Eigenschaften, namlich, daft er das Gegenstiick ist zum 
dreidimensionalen Raum. Denken Sie sich den gesamten Welten- 
raum so gegliedert, daft er drei aufeinander senkrecht stehende 
Achsen hat. Wenn Sie zu diesen drei Achsen senkrecht stehende 
Flachen haben, so bekommen Sie unter alien Umstanden einen 
Wiirfel (Figur 39). Man sagt deshalb, wenn man mit dem Wiirfel den 
theoretischen Wiirfel bezeichnen will, der Wiirfel sei iiberhaupt das 
Gegenstiick zum dreidimensionalen Raum. So wie das Tetraeder 
das Gegenstiick ist zum Oktaeder, wenn ich die Seiten des Okta- 
eders zu bestimmten Schnitten bringe, so ist der einzelne Wiirfel das 
Gegenstiick zum ganzen Raum. 42 Wenn Sie sich den ganzen Raum 
als positiv denken, so ist der Wiirfel negativ. Der Wiirfel ist zum 
ganzen Raum polar. Der Raum hat im physischen Wiirfel sein ihm 
eigentlich korrespondierendes Gebilde. 

Nehmen Sie einmal jetzt an, ich wiirde den [dreidimensionalen] 
Raum nicht durch zweidimensionale Ebenen begrenzen, sondern 
ich wiirde ihn so begrenzen, daft ich ihn durch sechs Kugeln be- 
grenzen lasse [also durch dreidimensionale Gebilde]. 

Ich begrenze zunachst den zweidimensionalen Raum dadurch, 
daft ich vier ineinandergehende Kreise [also zweidimensionale 



Gebilde] habe. Sie konnen sich nun vorstellen, daft diese vier 
Kreise immer grower und grower werden [indem der Radius immer 
langer wird und der Mittelpunkt sich immer weiter entfernt]; dann 
werden sie mit der Zeit alle in eine gerade Linie iibergehen (Figur 
40). Sie bekommen dann vier sich schneidende Geraden, und statt 
der vier Kreise ein Quadrat. 



Figur 40 




Denken Sie sich nun statt der Kreise Kugeln, und zwar sechs, 
so daft sie eine Art von Maulbeere bilden (Figur 41). Wenn Sie sich 
mit den Kugeln dasselbe denken wie mit den Kreisen, daft sie 
immer groftere Durchmesser bekommen, so werden diese sechs 
Kugeln zuletzt ebenso die Begrenzungsflachen eines Wiirfels wer- 
den, wie die vier Kreise zu Begrenzungslinien eines Quadrates 
wurden. 

Der Wiirfel ist jetzt dadurch entstanden, daft wir sechs Kugeln 
hatten, die flach geworden sind. Es ist also der Wiirfel nichts an- 
deres als der Spezialfall fur sechs ineinandergreifende Kugeln - 
ebenso wie das Quadrat nichts anderes ist als der Spezialfall fur 
vier ineinandergreifende Kreise. 



Wenn Sie sich klar sind, daft Sie sich diese sechs Kugeln so 
vorzustellen haben, dafi sie, in die Ebene gebracht, unseren friihe- 
ren Quadraten entsprechen, wenn Sie sich ein absolut rundes 
Gebilde ubergehend denken in ein gerades, so bekommen Sie die 
einfachste Raumform. Der Wiirfel kann vorgestellt werden als die 
Verflachung von sechs ineinandergeschobenen Kugeln. 

Sie konnen von einem Punkt eines Kreises sagen, dafi er durch 
die zweite Dimension hindurchgehen mu$, wenn er zu einem 
anderen [Punkt des Kreises] kommen will. Haben Sie aber den 
Kreis so groft werden lassen, da$ er eine gerade Linie bildet, dann 
kann jeder Punkt des Kreises zu jedem anderen Punkt des Kreises 
kommen durch die erste Dimension. 

Wir betrachten ein Quadrat begrenzt von Gebilden, welches 
jedes zwei Dimensionen hat. Solange jedes von den vier Grenz- 
gebilden ein Kreis ist, ist es also zweidimensional. Jedes Grenz- 
gebilde, wenn es eine Gerade geworden ist, ist eindimensional. 

Jede Grenzflache eines Wiirfels ist aus einem dreidimensionalen 
Gebilde so entstanden, daft jeder der sechs Grenzkugeln eine Di- 
mension weggenommen wurde. Eine solche Grenzflache ist also 
dadurch entstanden, da£ [bei ihr] die dritte Dimension auf zwei 
reduziert, sozusagen zuriickgebogen worden ist. Sie hat also eine 
Dimension eingebuftt. So ist die zweite Dimension entstanden 
durch Einbiiftung der Tief en-Dimension. Man konnte also jede 



Raumesdimension in ihrer Entstehung so vorstellen, daft sie eine 
entsprechende hohere eingebiiftt hat. 

Wie wir ein dreidimensionales Gebilde mit zweidimensionalen 
Grenzen erhalten, wenn wir dreidimensionale Grenzgebilde auf 
zweidimensionale reduzieren, so miissen Sie daraus schlieften, daft 
wir, wenn wir den dreidimensionalen Raum betrachten, wir eine 
jede Richtung als verflacht uns zu denken haben, und zwar ver- 
flacht aus einem unendlichen Kreis; so daft Sie, wenn Sie in der 
einen Richtung fortschreiten konnten, Sie aus der anderen zuriick- 
kommen wiirden. So ist eine jede [gewdhnliche] Raumdimension 
dadurch entstanden, daft sie die entsprechende andere [Dimen- 
sion] verloren hat. In unserem dreidimensionalen Raum steckt ein 
dreiachsiges System. Es sind drei aufeinander senkrecht stehende 
Achsen, welche die entsprechenden anderen Dimensionen einge- 
biiftt haben und dadurch flach geworden sind. 

Sie bekommen also den dreidimensionalen Raum, wenn Sie eine 
jede [der drei] Achsen-Richtungen geradebiegen. Wenn man um- 
gekehrt vorgeht, so konnte jeder Raumteil wieder in sich ge- 
krummt werden. Dann wiirde [folgende Gedankenreihe] entste- 
hen: Krummen Sie das eindimensionale Gebilde, so bekommen Sie 
ein zweidimensionales; durch Krummen des zweidimensionalen 
Gebildes bekommen Sie ein dreidimensionales. Krummen Sie end- 
lich ein dreidimensionales Gebilde, so bekommen Sie ein vierdi- 
mensionales Gebilde, so daft das Vierdimensionale auch vorgestellt 
werden kann als ein in sich gekrummtes Dreidimensionales. 43 

Und damit komme ich von dem Toten zum Lebendigen. Durch 
dieses Krummen konnen Sie den Ubergang vom Toten zum Le- 
bendigen finden. Der vierdimensionale Raum ist [beim Ubergang 
ins Dreidimensionale] so spezialisiert, daft er flach geworden ist. 
Der Tod ist [fur das menschliche Bewufttsein] nichts anderes als 
das Biegen des Dreidimensionalen in das Vierdimensionale. [Fur 
den physischen Leib fur sich genommen ist es umgekehrt: Der 
Tod ist eine Verflachung des Vierdimensionalen in das Dreidimen- 
sionale.] 



SECHSTER VORTRAG 



Berlin, 7. Juni 1905 



Ich mochte heute moglichst die Vortrage iiber die vierte Raumdi- 
mension zum AbschlufS bringen, obwohl ich heute noch eingehen- 
der ein kompliziertes System vorfuhren mochte. Ich miifite nach 
Hinton Ihnen noch viele Modelle anfiihren; ich kann Sie deshalb 
nur auf die drei ausfiihrlichen und geistvollen Biicher verweisen. 44 
Wer nicht den Willen hat, sich durch Analogien in der Weise ein 
Bild zu machen, wie wir es in den vergangenen Vortragen gehort 
haben, kann sich natiirlich keine Vorstellung vom vierdimensiona- 
len Raum machen. Es handelt sich urn eine neue Art der Gedan- 
kenbildung. 

Ich will Ihnen eine wirkliche Abbildung [Parallelprojektion] 
des Tessaraktes verschaffen. Sie wissen, wir hatten im zweidimen- 
sionalen Raum das Quadrat, das von vier Seiten begrenzt ist. Dies 
ist der dreidimensionale Wiirfel, der durch sechs Quadrate be- 
grenzt ist (Figur 42). 




Im vierdimensionalen Raum haben wir das Tessarakt. Ein Tes- 
sarakt ist von acht Wurfeln begrenzt. Die Projektion eines Tessar- 
aktes [in den dreidimensionalen Raum] besteht folglich aus acht 
ineinandergeschobenen Wurfeln. Wir haben gesehen, wie im drei- 
dimensionalen Raum die [entsprechenden acht] Wiirfel miteinan- 
der verschlungen werden konnen. Heute will ich Ihnen eine [an- 
dere] Art Projektion des Tessaraktes machen. 45 



Sie konnen sich vorstellen, daft der Wiirfel, wenn er gegen das 
Licht gehalten wird, einen Schatten auf die Tafel wirft. Diese seine 
Schattenfigur konnen wir mit Kreide festhalten (Figur 43). Sie 
sehen, es kommt dabei ein Sechseck heraus. Nun denken Sie sich 
einmal diesen Wiirfel durchsichtig, so wiirden Sie zu beachten 
haben, daft in der sechseckigen Figur die drei vorderen Wiirfelsei- 
ten und die drei hinteren Wiirfelseiten in dieselbe Flache hinein- 
fallen. 




Damit wir nun eine Projektion bekommen konnen, die wir auf 
das Tessarakt anwenden konnen, bitte ich Sie sich zu denken, daft 
der Wiirfel so vor Ihnen steht, daft der vordere Punkt A den hin- 
teren Punkt C zudeckt. Das alles wiirde Ihnen, wenn Sie sich die 
dritte Dimension fortdenken, wieder einen sechseckigen Schatten 
geben. Ich will Ihnen dafiir die Figur hinzeichnen (Figur 44). 



Figur 44 




Den Wiirfel so gedacht, wiirden Sie hier die drei vorderen Fla- 
chen sehen; die anderen Flachen wiirden dahinter liegen. Die Fla- 
chen des Wiirfels erscheinen Ihnen dabei verkiirzt und die Winkel 
nicht mehr als rechte. So sehen Sie den Wiirfel so abgebildet, daft 



er fur den Flachenanblick ein regulares Sechseck ergibt. So haben 
wir im zweidimensionalen Raum eine Abbildung eines dreidimen- 
sionalen Wiirfels bekommen. Da durch die Projektion die Kanten 
verkiirzt und die Winkel verandert werden, miissen wir uns also 
die [Projektion der] sechs Grenz-Quadrate des Wiirfels als ver- 
schobene Quadrate, als Rhomben vorstellen. 46 

Dieselbe Geschichte, die ich mit einem dreidimensionalen 
Wiirfel machte, den ich in die Ebene hineinprojizierte, diese Pro- 
zedur wollen wir mit einem vierdimensionalen Raumgebilde ma- 
chen, das wir also in den dreidimensionalen Raum hineinlegen 
miissen. Wir miissen also das aus acht Wiirfeln zusammengesetzte 
Gebilde, das Tessarakt, [durch Parallelprojektion] in die dritte 
Dimension hineinbringen. Wir haben bei dem Wiirfel drei sichtba- 
re und drei unsichtbare Kanten bekommen, die alle in den Raum 
hineingehen und in Wirklichkeit nicht in der [Projektionsjflache 
drinnenliegen. Denken Sie sich nun einen Wiirfel so verschoben, 
da$ daraus ein Rhombenwiirfel wird. 47 Nehmen Sie acht dieser 
Gebilde, so haben Sie die Moglichkeit, die acht [Grenz-]Wiirfel 
des Tessaraktes so zusammenzulegen, dafi sie zusammengescho- 
ben [die] acht [doppelt iiberdeckten] Rhomben- Wiirfel dieses 
Raumgebildes [des Rhombendodekaeders] ergeben (Figur 45). 



Figur 45 




Nun haben Sie hier eine Achse mehr [als beim dreidimensiona- 
len Wiirfel]. Ein vierdimensionales Raumgebilde hat dementspre- 
chend naturlich vier Achsen. Wenn wir es uns also zusammen- 



schieben, so bleiben immer noch vier Achsen iibrig. Es stecken 
dabei in dieser Projektion acht [zusammengeschobene] Wiirfel, die 
sich darin als Rhombenwiirfel darstellen. Das Rhombendodeka- 
eder ist ein [symmetrisches] Abbild oder Schattenbild des Tessar- 
aktes im dreidimensionalen Raum. 48 

Wir sind [zu diesen Beziehungen] durch eine Analogie gekom- 
men, die aber vollstandig stimmt: ebenso wie wir eine Projektion 
des Wiirfels in die Flache bekommen haben, ebenso kann man 
tatsachlich das Tessarakt im dreidimensionalen Raum durch eine 
Projektion darstellen. Sie verhalt sich ebenso wie das Schattenbild 
des Wiirfels zum Wiirfel selbst. Ich glaube, das ist ganz gut zu 
verstehen. 

Nun mochte ich gleich an das groftartigste Bild ankniipfen, das 
je dafiir gegeben worden ist, namlich an Plato und Schopenhauer 
und das Gleichnis mit der Hohle. 49 

Plato sagt: Man denke sich einmal in einer Hohle Menschen 
sitzen, und zwar sind sie alle so gefesselt, dafi sie den Kopf nicht 
drehen und nur nach der gegeniiberliegenden Wand schauen kon- 
nen. Hinter ihnen befinden sich Menschen, die die verschiedensten 
Gegenstande voriibertragen. Diese Menschen und diese Gegen- 
stande sind dreidimensional. Alle diese [gefesselten] Menschen 
starren also auf die Wand und sehen nur das, was als Schattenbild 
[von den Gegenstanden] auf die Wand geworfen wird. So wiirden 
Sie alles, was hier im Zimmer ist, nur als Schatten an der gegen- 
iiberliegenden Wand als zweidimensionale Bilder wieder sehen. 

Nun sagt Plato: So ist es iiberhaupt in der Welt. In Wahrheit 
sitzen die Menschen in der Hohle. Nun sind die Menschen selbst 
und alles iibrige vierdimensional; aber was die Menschen davon 
sehen, sind nur Bilder im dreidimensionalen Raum. 50 

So stellen sich alle Dinge dar, die wir iiberhaupt sehen. Gemafi 
Plato sind wir darauf angewiesen, nicht die wirklichen Dinge, 
sondern die dreidimensionalen Schattenbilder zu sehen. Meine 
Hand sehe ich nur als Schattenbild, sie ist in Wahrheit vierdimen- 
sional, und alles, was die Menschen davon sehen, ist ebenso das 
Abbild davon, wie das, was ich Ihnen eben als Abbild des Tessar- 



aktes gezeigt habe. So suchte Plato schon damals klarzumachen, 
daft die Korper, die wir kennen, eigentlich vierdimensional sind, 
und daft wir von ihnen nur Schattenbilder im dreidimensionalen 
Raum sehen. Und das ist nicht ganz willkurlich. Dafiir will ich 
Ihnen gleich die Griinde anfiihren. 

Von vornherein kann naturlich jeder sagen, das sei eine blofte 
Spekulation. Wie konnen wir uns iiberhaupt eine Vorstellung davon 
machen, daft diese Dinge, die dort an der Wand erscheinen, eine 
Realitat haben? Denken Sie sich einmal, Sie sitzen hier in einer 
Reihe, und Sie sitzen ganz starr. Denken Sie sich jetzt aber, daft die 
Dinge sich plotzlich anfangen zu bewegen. Sie werden unmoglich 
sich sagen konnen, daft die Bilder auf der Wand sich bewegen kon- 
nen, ohne daft aus der zweiten Dimension herausgegangen wird. 
Wenn sich dort etwas bewegt, so deutet das darauf hin, daft aufter- 
halb der Wand, an dem wirklichen Objekt, etwas geschehen sein 
muft, damit es sich iiberhaupt bewegt. Das sagen Sie sich. [Wenn 
man sich vorstellt, daft] die Objekte im dreidimensionalen Raum 
nebeneinander vorbeigehen konnen, ware dies mit ihren zweidi- 
mensionalen Schattenbildern nicht moglich, falls man sich dieselben 
substantial, das heiftt undurchdringlich denkt. Wenn sich jene Bil- 
der, substantiell gedacht, nebeneinander vorbei bewegen wollten, so 
miiftten sie aus der zweiten Dimension hinausgehen. 

Solange alles in Ruhe ist auf der Wand, habe ich keine Veranlas- 
sung, auf irgendein Geschehen aufterhalb der Wand, aufterhalb des 
Raumes der zweidimensionalen Schattenbilder, zu schlieften. Im 
Augenblick aber, wo die Geschichte anfangt sich zu bewegen, muft 
ich untersuchen, woher die Bewegung kommt. Und Sie sagen sich, 
daft die Veranderung nur von einer Bewegung aufterhalb der Wand 
herstammen kann, nur kommen kann aus der Bewegung innerhalb 
einer dritten Dimension. Die Veranderung hat uns also gesagt, daft 
es aufter einer zweiten noch eine dritte Dimension gibt. 

Was bloftes Bild ist, hat auch eine gewisse Realitat, besitzt ganz 
bestimmte Eigenschaften, unterscheidet sich aber wesentlich von 
dem wirklichen Gegenstande. Sie werden nicht ableugnen konnen, 
daft auch das Spiegelbild ein bloftes Bild ist. Sie sehen im Spiegel 



sich, und Sie sind aufterdem auch noch da. 1st nun [nicht noch] ein 
drittes [das heiftt ein wirksames Wesen] da, so konnten Sie tat- 
sachlich nicht wissen, was Sie sind. Aber das Spiegelbild macht 
dieselben Bewegungen, die das Original macht; das Bild ist abhan- 
gig von dem wirklichen Gegenstande, dem Wesen; es hat selbst 
keine Fahigkeit [sich zu bewegen]. Es kann also unterschieden 
werden zwischen Bild und Wesen dadurch, daft nur ein Wesen aus 
sich selbst heraus Bewegung, Veranderung zustande bringen kann. 
Von den Schattenbildern auf der Wand werde ich gewahr, daft sie 
sich selbst nicht bewegen konnen, sie also keine Wesen sein kon- 
nen. Ich muft aus ihnen herausgehen, wenn ich zu den Wesen 
kommen will. 

Wenden Sie das nun auf die Welt iiberhaupt an. Die Welt ist 
dreidimensional. Nehmen Sie diese dreidimensionale Welt einmal 
fur sich, so wie sie ist; fassen Sie sie in Gedanken ganz [fur sich 
selbst], und Sie werden finden, daft sie starr bleibt. Sie bleibt noch 
dreidimensional, auch wenn Sie die Welt in einem bestimmten 
Zeitpunkte sich plotzlich eingefroren denken. Es gibt aber nicht in 
zwei Zeitpunkten ein und dieselbe Welt. Die Welt ist in den auf- 
einanderfolgenden Zeitpunkten durchaus verschieden. Denken Sie 
sich, daft diese Zeitpunkte fortfielen, so daft das bleibt, was da ist. 
Ohne die Zeit geschahe gar keine Veranderung mit der Welt. Die 
Welt bliebe eine dreidimensionale auch dann, wenn sie gar keine 
Veranderung durchmachte. Die Bilder auf der Wand bleiben auch 
zweidimensional. Aber die Veranderung deutet auf eine dritte Di- 
mension hin. Daft sich die Welt fortwahrend andert, und daft sie 
auch ohne Veranderung dreidimensional bleibt, deutet darauf hin, 
daft wir die Veranderung in einer vierten Dimension suchen miis- 
sen. Den Grund, die Ursache der Veranderung, die Tatigkeit 
miissen wir aufterhalb der dritten Dimension suchen, und damit 
haben Sie die vierte der Dimensionen zunachst einmal erschlossen. 
Damit haben Sie aber auch die Rechtfertigung fur das Bild Platos. 
So fassen wir die ganze dreidimensionale Welt auf als die Schatten- 
projektion einer vierdimensionalen Welt. Es fragt sich nur, wie 
wir diese vierte Dimension [in Wirklichkeit] zu nehmen haben. 



Sehen Sie, wir haben die eine Vorstellung uns natiirlich klar zu 
machen, daft es unmoglich ist, daft die vierte Dimension [unmittel- 
bar] in die dritte hineinfallt. Das geht nicht. Die vierte Dimension 
kann nicht in die dritte hineinf alien. Ich mochte Ihnen einmal jetzt 
zeigen, wie man sozusagen dariiber einen Begriff bekommen kann, 
wie man iiber die dritte Dimension hinauskommt. Wenn Sie sich 
einmal vorstellen, daft wir einen Kreis haben - ich habe schon 
letzthin eine ahnliche Vorstellung wachzurufen versucht 51 - wenn 
Sie sich diesen Kreis immer grower und grower werdend denken, 
so wird ein Snick dieses Kreises immer flacher und flacher, und 
dadurch, daft der Durchmesser des Kreises zuletzt ganz groft wird, 
geht der Kreis endlich iiber in eine gerade Linie. Die Linie hat eine 
Dimension, der Kreis aber hat zwei Dimensionen. Wie bekommen 
Sie nun wieder aus einer Dimension eine zweite? Durch Kriim- 
mung einer geraden Linie erhalten Sie wieder einen Kreis. 

Wenn Sie sich nun die Kreisflache in den Raum hineingekrummt 
denken, so bekommen Sie erst mal eine Schale, und wenn Sie dies 
noch weiter machen, eine Kugel. So bekommt eine Linie durch 
Krummung eine zweite Dimension und eine Flache durch Kriim- 
mung eine dritte Dimension. Wenn Sie nun einen Wiirfel noch 
krummen konnten, so miiftte er in die vierte Dimension hineinge- 
kriimmt werden, und Sie hatten das [spharische] Tessarakt. 52 

Die Kugel konnen Sie auffassen als ein gekriimmtes zweidimen- 
sionales Raumgebilde. Die Kugel, die in der Natur auftritt, ist die 
Zelle, das kleinste Lebewesen. Die Zelle begrenzt sich kugelig. Das 
ist der Unterschied zwischen dem Lebendigen und dem Leblosen. 
Das Mineral tritt als Kristall immer von ebenen Flachen begrenzt 
auf; das Leben ist begrenzt von kugeligen Flachen, aufgebaut aus 
Zellen. Das heiftt, so wie ein Kristall aufgebaut ist aus geradegebo- 
genen Kugeln, das heiftt Ebenen, so ist das Leben aufgebaut aus 
Zellen, also aus zusammengekrummten Kugeln. Der Unterschied 
zwischen Lebendigem und Totem liegt in der Art und Weise der 
Begrenzung. Das Oktaeder ist begrenzt von acht Dreiecken. 
Wenn wir uns die acht Seiten aus Kugeln zusammengesetzt den- 
ken, so wiirden wir ein achtgliedriges Lebendiges erhalten. 



Wenn Sie gleichsam das dreidimensionale Gebilde, den Wiirfel, 
nochmals kriimmen, so bekommen Sie ein vierdimensionales Ge- 
bilde, das spharische Tessarakt. Kriimmen Sie aber den ganzen 
Raum, so erhalten Sie etwas, was sich zum dreidimensionalen 
Raum so verhalt, wie sich die Kugel zur Ebene verhalt. 53 

Wie nun der Wiirfel als dreidimensionales Gebilde von Ebenen 
begrenzt ist, so ist iiberhaupt jeder Kristall von Ebenen begrenzt. 
Das Wesentliche eines Kristalles ist die Zusammenfiigung aus [fla- 
chen] Grenz-Ebenen. Das Wesentliche des Lebendigen ist die Zu- 
sammenfiigung aus gekriimmten Flachen, aus Zellen. Die Zusam- 
menfiigung eines noch Hoheren wiirde ein solches Gebilde sein, 
dessen einzelne Grenzen vierdimensional sein wiirden. Ein dreidi- 
mensionales Gebilde ist begrenzt von zweidimensionalen Gebil- 
den. Ein vierdimensionales Wesen, das heiftt ein lebendiges We- 
sen, ist begrenzt von dreidimensionalen Wesen, von Kugeln und 
Zellen. Ein fiinfdimensionales Wesen ist selbst begrenzt von vier- 
dimensionalen Wesen, von spharischen Tessarakten. Daraus sehen 
Sie, daft wir aufsteigen miissen von dreidimensionalen zu vierdi- 
mensionalen, und dann zu funfdimensionalen Wesen. 

Wir miissen uns nur fragen: Was muft eintreten bei einem 
Wesen, das vierdimensional ist? 54 Es mufi dabei innerhalb der drit- 
ten Dimension eine Veranderung eintreten. Mit anderen Worten: 
Hangen Sie hier an die Wand Bilder, so sind diese zweidimensio- 
nal, sie bleiben im allgemeinen starr. Haben Sie aber Bilder, die 
sich in der zweiten Dimension bewegen, verandern, so miissen Sie 
schlieften, daft die Ursache dieser Bewegung nur aufterhalb der 
Wandflache liegen kann, daft also die dritte Raumdimension die 
Veranderung angibt. Finden Sie Veranderungen innerhalb der 
dritten Raumesdimension selbst, so miissen Sie schlieften, daft eine 
vierte Dimension zugrunde liegt, und damit kommen wir zu den 
Wesen, die eine Veranderung innerhalb ihrer drei Raumdimensio- 
nen durchmachen. 

Es ist nicht wahr, daft wir eine Pflanze ganz erkannt haben, 
wenn wir sie nur in ihren drei Dimensionen erkannt haben. Eine 
Pflanze verandert sich fortwahrend, und diese Veranderung ist ein 



wesentliches, ein hoheres Merkmal derselben. Der Wurfel bleibt; 
er andert seine Form nur, wenn Sie ihn zerschiagen. Ein Pflanze 
andert ihre Form selbst, das heifk, es gibt etwas, was die Ursache 
dieser Veranderung ist und was aufterhalb der dritten Dimension 
liegt und Ausdruck der vierten Dimension ist. Was ist das? 

Sehen Sie, wenn Sie diesen Wurfel jetzt haben und ihn abzeich- 
nen, so wiirden Sie sich vergeblich bemuhen, wenn Sie ihn in ver- 
schiedenen Momenten anders zeichnen wollten; er wird immer 
derselbe bleiben. Wenn Sie die Pflanze abzeichnen, und Sie ver- 
gleichen nach drei Wochen das Bild mit Ihrem Modell, so hat es 
sich verandert. Diese Analogie stimmt also vollstandig. Alles Le- 
bende weist auf ein Hoheres hin, worin es sein wahres Wesen hat, 
und der Ausdruck fur dieses Hohere ist die Zeit. Die Zeit ist der 
symptomatische Ausdruck, die Erscheinung der Lebendigkeit 
[aufgefalk als vierte Dimension] in den drei Dimensionen des 
physischen Raumes. Mit anderen Worten: Alle Wesen, fur die die 
Zeit eine innere Bedeutung hat, sind Abbilder von vierdimensio- 
nalen Wesen. Dieser Wurfel ist nach drei oder sechs Jahren immer 
noch derselbe. Der Lilienkeim andert sich. Denn fur ihn hat die 
Zeit eine reale Bedeutung. Daher ist das, was wir in der Lilie se- 
hen, nur die dreidimensionale Abbildung des vierdimensionalen 
Lilienwesens. Die Zeit ist also ein Abbild, eine Projektion der 
vierten Dimension, der organischen Lebendigkeit, in die drei 
Raumdimensionen der physischen Welt. 

Um sich klarzumachen, wie sich eine folgende Dimension zu 
der vorhergehenden verhalt, bitte ich Sie, sich dieses zu denken: 
Der Wurfel hat drei Dimensionen; wenn Sie sich die dritte verge- 
genwartigen, so mussen Sie sich sagen, dafi sie auf der zweiten 
senkrecht steht und die zweite senkrecht auf der ersten steht. Die 
drei Dimensionen zeichnen sich dadurch aus, dafi sie senkrecht 
aufeinander stehen. Wir konnen uns aber noch eine andere Vor- 
stellung machen, wie die dritte Dimension aus der folgenden [vier- 
ten Dimension] entsteht. Denken Sie sich, Sie wiirden den Wurfel 
verandern, indem Sie die Grenzflachen farbig machen und diese 
Farben dann [in bestimmter Weise, wie bei Hinton] verandern. 



Eine solche Veranderung laftt sich in der Tat durchfuhren, und sie 
entspricht ganz genau der Veranderung, die ein dreidimensionales 
Wesen erleidet, wenn es in die vierte Dimension hiniibergeht, sich 
durch die Zeit entwickelt. Wenn Sie ein vierdimensionales Wesen 
in irgendeinem Punkte durchschneiden, so heiftt das, daft Sie ihm 
die vierte Dimension nehmen, sie vernichten. Wenn Sie das bei 
einer Pflanze tun, so machen Sie ganz genau dasselbe, als wenn Sie 
von der Pflanze einen Abdruck machen, einen Gipsabguft. Das 
haben Sie dadurch festgehalten, daft Sie die vierte Dimension, die 
Zeit, vernichteten. Dann bekommen Sie ein dreidimensionales 
Gebilde. Wenn bei irgendeinem dreidimensionalen Wesen die 
vierte Dimension, die Zeit, eine wesentliche Bedeutung hat, so 
handelt es sich um ein lebendiges Wesen. 

Nun kommen wir in die fiinfte Dimension hinein. Da konnen 
Sie sich sagen, Sie miissen wiederum eine Grenze haben, die senk- 
recht auf der vierten Dimension steht. Von der vierten Dimension 
haben wir gesehen, daft sie in ahnlicher Beziehung zur dritten 
Dimension steht, wie die dritte zur zweiten. Von der funften kann 
man sich nicht gleich ein solches Bild machen. Aber eine ungefah- 
re Vorstellung konnen Sie sich wieder durch eine Analogie schaf- 
fen. Wie entsteht iiberhaupt eine Dimension? Wenn Sie einfach 
eine Linie ziehen, wird niemals eine weitere Dimension entstehen, 
wenn Sie die Linie nur in einer Richtung fortschieben wiirden. 
Erst durch die Vorstellung, daft Sie zwei einander entgegenkom- 
mende Krafterichtungen haben, die sich dann in einem Punkte 
stauen, erst durch den Ausdruck der Stauung haben Sie eine neue 
Dimension. Wir miissen also die neue Dimension als eine neue 
Stauungslinie [zweier Kraftestromungen] auffassen konnen, und 
uns die eine Dimension das eine Mai von rechts, das andere Mai 
von links kommend denken, als positiv und negativ. Ich fasse also 
eine Dimension [als in sich] polaren [Kraftestrom] auf, so daft sie 
eine positive und eine negative Dimensionfskomponente] hat, und 
die Neutralisation [dieser polaren Kraftekomponenten], das ist die 
neue Dimension. 

Von da ausgehend wollen wir uns eine Vorstellung von der 



fiinften Dimension schaffen. Da werden wir uns vorzustellen ha- 
ben, dafi die vierte Dimension, die wir als Zeit ausgedriickt gefun- 
den haben, sich in positiver und negativer Weise verhalt. Nehmen 
Sie nun zwei Wesen, fur die die Zeit eine Bedeutung hat, und 
denken Sie sich zwei solche Wesen miteinander in Kollision gera- 
ten. Dann mufi etwas als Ergebnis erscheinen, ahnlich wie wir 
friiher von einer Stauung von [entgegengesetzten] Kraften geredet 
haben; und was da als Resultat auftritt, wenn zwei vierdimensio- 
nale Wesen miteinander in Beziehung treten, das ist ihre funfte 
Dimension. Diese funfte Dimension ergibt sich als Resultat, als 
Folge eines Austausches [einer Neutralisation polarer Kraftewir- 
kungen], indem zwei Lebewesen durch ihr gegenseitiges Aufein- 
anderwirken etwas hervorbringen, was sie nicht auEen [in den drei 
gewohnlichen Raumdimensionen miteinander gemeinsam] haben, 
auch nicht in [der vierten Dimension,] der Zeit, gemeinsam haben, 
sondern vollig aufierhalb dieser [bisher besprochenen Dimensio- 
nen oder] Grenzen haben. Das ist das, was wir Mitgefiihl [oder 
Empfindung] nennen, wodurch ein Wesen von dem andern weift, 
also die Erkenntnis des [seelisch-geistigen] Innern eines anderen 
Wesens. Niemals konnte ein Wesen von dem anderen Wesen et- 
was wissen aufterhalb der Zeit [und des Raumes], wenn Sie nicht 
noch eine hohere, funfte Dimension hinzufugten, [also in die Welt 
der] Empfindung [eintraten]. Natiirlich ist hier die Empfindung 
nur als Projektion, als Ausdruck [der fiinften Dimension] in der 
physischen Welt [zu verstehen]. 

Die sechste Dimension in derselben Weise zu entwickeln, wur- 
de zu schwer werden, daher will ich sie nur angeben. [V ersuchten 
wir so fortzuschreiten, so wiirde sich als Ausdruck der sechsten 
Dimension etwas entwickeln lassen, das,] in die dreidimensionale 
physische Welt hereingelegt, Selbstbewulksein ist. 

Der Mensch ist als dreidimensionales Wesen ein solches, das 
mit den anderen dreidimensionalen Wesen seine Bildlichkeit ge- 
meinschaftlich hat. Die Pflanze hat dazu noch die vierte Dimen- 
sion. Aus diesem Grunde werden Sie auch niemals das letzte 
[eigentliche] Wesen der Pflanze innerhalb der drei Dimensionen 



des Raumes finden, sondern Sie miilken von der Pflanze aufstei- 
gen zu einer vierten Raumdimension [zur Astralsphare]. Wollten 
Sie aber gar ein Wesen begreifen, das Empfindung hat, so mufiten 
Sie zur funften Dimension [zum unteren Devachan, zur Rupa- 
Sphare] aufsteigen; und wollten Sie ein Wesen begreifen, das 
Selbstbewufksein hat, einen Menschen, so miilken Sie bis zur 
sechsten Dimension [zum oberen Devachan, zur Arupa-Sphare] 
aufsteigen. So ist der Mensch, wie er gegenwartig vor uns stent, in 
der Tat ein sechsdimensionales Wesen. Dasjenige, was hier Emp- 
findung oder Mitgefuhl, beziehungsweise Selbstbewulksein ge- 
nannt wird, ist eine Projektion der funften, beziehungsweise sech- 
sten Dimension in den gewohnlichen dreidimensionalen Raum. In 
diese geistigen Spharen ragt der Mensch, wenn auch in der Haupt- 
sache unbewulk, hinein; erst dort kann er tatsachlich in dem letzt- 
angedeuteten Sinne erlebt werden. Dieses sechsdimensionale We- 
sen kann nur dadurch zu einer Vorstellung selbst der hoheren 
Welten kommen, wenn es versucht, sich des eigentlich Charakte- 
ristischen der niederen Dimensionen zu entledigen. 

Nur andeuten kann ich Ihnen den Grund, warum der Mensch 
die Welt fur nur dreidimensional halt, weil er namlich in seiner 
Vorstellung eben darauf angelegt ist, in der Welt nur ein Spiegel- 
bild von Hoherem zu sehen. Vor einem Spiegel sehen Sie auch nur 
ein Spiegelbild von sich selbst. So sind in der Tat die drei Dimen- 
sionen unseres physischen Raumes Spiegelungen, materielle Ab- 
bilder von drei hoheren, ursachlich schopferischen Dimensionen. 
Unsere materielle Welt hat demnach ihr polares [geistiges] Gegen- 
bild in der Gruppe der drei nachsthoheren Dimensionen, also in 
denen der vierten, funften und sechsten Dimension. Und in ahn- 
lichem Sinne verhalten sich auch die jenseits dieser Gruppe von 
Dimensionen liegenden, nur zu ahnenden geistigen Welten, polar 
zu denen der vierten bis sechsten Dimension. 

Wenn Sie Wasser haben, und Sie lassen das Wasser gefrieren, so 
ist in beiden Fallen dieselbe Substanz da; in der Form aber unter- 
scheiden sie sich ganz wesentlich. Einen ahnlichen Prozefi konnen 
Sie sich fur die drei hoheren Dimensionen des Menschen vorstel- 



len. Wenn Sie sich den Menschen als blofi geistiges Wesen denken, 
dann miissen Sie sich denken, daft er nur die drei hoheren Dimen- 
sionen - Selbstbewulksein, Gefiihl und Zeit - hat, imd diese drei 
Dimensionen spiegeln sich in der physischen Welt in deren drei 
gewohnlichen Dimensionen. 

Der Yogi [Geheimschtiler] mufi, wenn er zu einer Erkenntnis 
der hoheren Welten aufrucken will, die Spiegelbilder nach und 
nach durch die Wirklichkeit ersetzen. Wenn er zum Beispiel eine 
Pflanze betrachtet, so muft er sich daran gewohnen, eben die ho- 
heren Dimensionen allmahlich anstelle der niederen zu setzen. 
Betrachtet er eine Pflanze, und ist er imstande, bei einer Pflanze 
von einer Raumdimension abzusehen, von einer Raumdimension 
zu abstrahieren, und sich dafiir zunachst einmal eine entsprechen- 
de der hoheren Dimensionen vorzustellen, also die Zeit, dann er- 
halt er tatsachlich eine Vorstellung davon, was ein zweidimensio- 
nales, in Bewegung begriffenes Wesen ist. Damit dieses Wesen 
nicht nur ein blofies Bild ist, sondern etwas, was einer Wirklich- 
keit entspricht, mufi der Yogi noch folgendes machen. Wenn er 
namlich von der dritten Dimension absieht und die vierte hinzu- 
fiigt, so wiirde er nur etwas Imaginares erhalten. Durch folgende 
Hilfsvorstellung [kann man sich aber weiterhelfen]: Wenn wir uns 
von einem lebenden Wesen eine kinematographische Darstellung 
machen, so nehmen wir den urspriinglich dreidimensionalen Vor- 
gangen die dritte Dimension weg, fiigen aber durch die Szenenfol- 
ge der Bilder die [Dimension der] Zeit hinzu. Wenn wir dann zu 
dieser [bewegten] Vorstellung noch die Empfindung hinzufiigen, 
so vollziehen wir eine ahnliche Prozedur, wie ich sie Ihnen friiher 
als Abknimmen eines dreidimensionalen Gebildes in die vierte 
Dimension hinein beschrieben habe. Durch diesen ProzeE bekom- 
men Sie dann ein vierdimensionales Gebilde, jetzt aber ein solches, 
das zwei von unseren Raumdimensionen hat, aber aufterdem noch 
zwei hohere, namlich Zeit und Empfindung. Solche Wesen gibt es 
in der Tat, und diese Wesen - und damit komme ich zu einem 
realen Schluft der ganzen Betrachtung -, diese Wesen mochte ich 
Ihnen nennen. 



Denken Sie sich zwei Raumdimensionen, also eine Flache, und 
diese Flache begabt mit Bewegung. Nun denken Sie sich abgebo- 
gen als Empfindung ein empfindendes Wesen, das dann eine zwei- 
dimensionale Flache vor sich herschiebt. Ein solches Wesen mufi 
anders wirken und sich sehr unterscheiden von einem dreidimen- 
sionalen Wesen unseres Raumes. Dieses Flachenwesen, das wir 
uns auf diese Weise konstruiert haben, ist nach einer Richtung 
unabgeschlossen, vollig offen, es bietet Ihnen einen zweidimensio- 
nalen Anblick; Sie konnen nicht um es herum, es kommt auf Sie 
zu. Das ist ein Leuchtwesen, und das Leuchtwesen ist nichts an- 
deres als die Unabgeschlossenheit nach einer Richtung. 

Durch ein solches Wesen lernen die Eingeweihten dann andere 
Wesen kennen, die sie beschreiben als die gottlichen Boten, die 
ihnen in Feuerflammen nahen. Die Beschreibung vom Sinai, als 
dem Moses die zehn Gebote gegeben worden sind, 55 heifk nichts 
anderes, als da$ sich ihm in der Tat ein Wesen nahern konnte, das 
fur ihn wahrnehmbar diese Abmessungen hatte. Es wirkte auf ihn 
wie ein Mensch, dem man die dritte Raumdimension fortgenom- 
men hatte, es wirkte in der Empfindung und in der Zeit. 

Diese abstrakten Bilder in den religiosen Urkunden sind nicht 
nur aufiere Sinnbilder, sondern gewaltige Wirklichkeiten, die der 
Mensch kennenlernen kann, wenn er das sich anzueignen imstande 
ist, was wir durch Analogien uns klarzumachen versuchten. Je 
mehr Sie sich solchen Betrachtungen von Analogien fleiftig und 
energisch hingeben, emsig sich hineinvertiefen, desto mehr wirken 
Sie wirklich auf Ihren Geist, und um so mehr wirken diese [Be- 
trachtungen] in uns und losen hohere Fahigkeiten aus. [Dies ist 
etwa der Fall bei der Auseinandersetzung mit] der Analogie des 
Verhaltnisses des Wiirfels zum Sechseck und des Tessarakts zum 
Rhombendodekaeder. Letzteres stellt eine Projektion des Tessar- 
aktes in die dreidimensionale physische Welt dar. Wenn Sie sich 
diese Figuren als fur sich lebend veranschaulichen, wenn Sie aus 
der Projektion des Wiirfels - dem Sechseck - den Wiirfel heraus- 
wachsen lassen, und ebenso aus der Projektion des Tessaraktes 
[dem Rhombendodekaeder] den Tessarakt selbst enstehen lassen, 



dann schaffen Sie sich dadurch in Ihrem niederen Mentalkorper 
die Moglichkeit und die Fahigkeit, das aufzufassen, was ich Ihnen 
eben als Gebilde beschrieben habe. Und wenn Sie, mit anderen 
Worten, nicht nur mir gefolgt sind, sondern diese Prozedur leben- 
dig durchgemacht haben, wie der Yogi beim wachen Bewulksein, 
dann werden Sie merken, daft Ihnen in Ihren Traumen so etwas 
auftreten wird, das in Wirklichkeit ein vierdimensionales Gebilde 
ist, und dann ist es nicht mehr weit, es heriiberzuholen in das 
wache Bewufttsein, und Sie konnen dann bei jedem vierdimensio- 
nalen Wesen die vierte Dimension sehen. 

'» 

Die astrale Sphare ist die vierte Dimension. 
Devachan bis Rupa ist die fiinfte Dimension. 
Devachan bis Arupa ist die sechste Dimension. 56 

Diese drei Welten, die physische, astralische und himmlische 
[devachanische], umschliefien sechs Dimensionen. Die noch hohe- 
ren Welten verhalten sich vollstandig polar zu diesen. 





Mineral 


Pflanze 


Tier 


Mensch 


Arupa 


Selbst- 
bewufitsein 








Rupa 


Empfindung 


Selbst- 
bewufitsein 






Astralplan 


Leben 


Empfindung 


Selbst- 
bewufitsein 




Physischer 


Form 


Leben 


Empfindung 


Selbst- 


Plan 








bewufitsein 






Form 


Leben 
Form 


Empfindung 

Leben 

Form 



DER VIERDIMENSIONALE RAUM 



Berlin, 7. November 1905 

Unser gewohnlicher Raum hat drei Dimensionen: Lange, Breite 
und Hohe. Eine Linie ist in einer Dimension ausgedehnt, sie hat 
nur Lange. Die Tafel ist eine Flache, hat also zwei Dimensionen: 
Lange und Breite. Ein Korper dehnt sich nach drei Dimensionen 
aus. Wie entsteht nun ein Korper aus drei Dimensionen? 

Stellen Sie sich ein Gebilde vor, das gar keine Dimensionalitat 
hat, das ist der Punkt. Er hat null Dimensionen. Wenn ein Punkt 
sich bewegt und eine Richtung einhalt, so entsteht eine gerade 
Linie, ein eindimensionales Gebilde. Wenn Sie sich die Linie wei- 
terbewegt denken, so entsteht eine Flache mit Lange und Breite. 
Wenn Sie schliefilich die Flache sich bewegt denken, so beschreibt 
sie ein dreidimensionales Gebilde. Auf diesselbe Weise konnen 
wir aber nicht mehr aus dem dreidimensionalen Korper [durch 
Bewegung] ein vierdimensionales Gebilde, eine vierte Dimension 
erzeugen. Wir mussen versuchen, uns bildlich vorzustellen, wie 
wir zum Begriff einer vierten Dimension kommen konnen. [Ge- 
wisse] Mathematiker [und Naturwissenschaftler] haben sich ver- 
sucht gefuhlt, die geistige Welt mit unserer sinnlichen Welt in 
Einklang zu bringen [, indem sie die geistige Welt in einen vier- 
dimensionalen Raum hineinversetzten], so zum Beispiel Zollner. 57 



Figur 46 




Denken Sie sich einen Kreis. Er ist nach alien Seiten hin in der 
Ebene geschlossen. Wenn jemand verlangt, daft eine Miinze von 



aufkrhalb des Kreises in den Kreis hineinkommen soli, miissen 
wir die Kreislinie iiberschreiten (Figur 46). Falls Sie aber die 
Kreislinie nicht beriihren wollen, so miissen Sie die Miinze [in den 
Raum] heben und dann hineinlegen. Sie miissen dabei notwendi- 
gerweise aus der zweiten in die dritte Dimension gehen. Falls wir 
eine Miinze in einen Wiirfel [oder in eine Kugel] hineinzaubern 
wollten, so miifken wir [aus der dritten Dimension heraus und] 
durch die vierte Dimension hindurchgehen. 58 

Als ich in diesem Leben zu erfassen anfing, was der Raum 
eigentlich ist, war es, als ich anfing, neuere [synthetische projekti- 
ve] Geometrie zu studieren. Da begriff ich, was es fur eine Bedeu- 
tung hat, wenn man von einem Kreise in eine Linie ubergeht (Fi- 
gur 47). Im intimsten Denken der Seele eroffnet sich die Welt. 59 




\ / 

Figur 47 

Denken wir uns nun einen Kreis. Wenn wir die Kreislinie ver- 
folgen, konnen wir auf ihr herum gehen und zu dem urspriingli- 
chen Punkte zuriickkehren. Denken wir uns nun den Kreis immer 
grofier und grower werdend [wobei wir eine Tangentenlinie fest- 
halten]. Dabei mufi er zuletzt in eine gerade Linie ubergehen, da 
er sich immer mehr verflacht. [Wenn ich die sich vergrofiernden 
Kreise durchlaufe, so gehe ich immer auf der einen Seite] hinunter 
[und komme dann auf der anderen Seite wieder] herauf und zu- 



nick zum Ausgangspunkt. [Bewege ich mich schlieftlich auf der 
geraden Linie etwa nach rechts bis ins Unendliche, so] mull ich 
von der anderen [linken] Seite von der Unendlichkeit wieder zu- 
riickkehren, da die gerade Linie sich [beziiglich der Anordnung 
ihrer Punkte] wie ein Kreis verhalt. Daraus sehen wir, daft der 
Raum keinen Abschlufi hat [im selben Sinne, wie die gerade Linie 
keinen Abschluft hat, das heifit, die Anordnung ihrer Punkte ist 
dieselbe wie bei einem in sich geschlossenen Kreis. Entsprechend 
mufi man sich den unendlich ausgedehnten Raum als in sich ge- 
schlossen denken, so wie die Oberflache einer Kugel in sich ge- 
schlossen ist]. Damit haben Sie den unendlichen Raum dargestellt 
[im Sinne] eines Kreises, [oder] einer Kugel. Dieser Begriff fuhrt 
uns dazu, den Raum vorzustellen in seiner Wirklichkeit. 60 

Wenn ich mir nun vorstelle, dafi ich nicht einfach wesenlos [ins 
Unendliche] fortgehe, um dann [unverandert von der anderen Sei- 
te] zuriickzukehren, sondern mir denke, ich habe hier ein aus- 
strahlendes Licht, so wird dieses [von einem ruhenden Punkt auf 
der Linie aus gesehen] immer schwacher, indem ich [mit dem 
Licht] fortgehe, und immer starker, wenn ich [aus dem Unend- 
lichen mit dem Licht wieder] zunickkehre. Und denken wir, daft 
dieses Licht nicht nur positiv wirkt, sondern, indem es hier sich 
[wieder] nahert von der anderen Seite, desto starker leuchtet, so 
haben Sie [hier die Qualitaten] positiv und negativ. 

Bei alien Naturwirkungen finden Sie diese zwei Pole, die nichts 
anderes darstellen, als die entgegengesetzten Wirkungen des Rau- 
mes. Daraus bekommen Sie den Begriff, daft der Raum etwas 
Kraftvolles ist, und daft die Krafte, die darin wirken, nichts ande- 
res sind als der Ausflufi der Kraft selbst. Dann werden wir nicht 
zweifeln konnen, daft sich innerhalb unseres dreidimensionalen 
Raumes eine Kraft finden konnte, die von innen wirkt. Sie werden 
sich klar werden, daft alles, was im Raume auftritt, auf wirklichen 
Verhaltnissen im Raume beruht. 

Denken wir zwei Dimensionen miteinander verschlungen, dann 
hatten wir diese zwei in Beziehung gebracht. Wenn Sie zwei [ge- 
schlossene] Ringe miteinander verschlingen wollen, miissen Sie 



den einen aufdroseln, um den anderen hineinzubringen. Ich werde 
mir nun aber die innere Mannigfaltigkeit des Raumes bezeugen, 
indem ich dieses Gebilde [ein rechteckiges Papierband] zweimal 
um sich selbst verschlinge [das heifit, das eine Ende festhalte und 
das andere Ende um 360° verdrehe und dann die beiden Enden 
zusammenhalte]. Ich hefte das Papierband fest mit Stecknadeln 
zusammen und zerschneide es in der Mitte. Jetzt hangt das eine 
Band ganz fest in dem anderen drinnen. Vorher war es nur ein 
Band. Ich habe also hier durch blo£e Bandverschlingungen inner- 
halb der drei Dimensionen dasselbe erzeugt, was ich sonst [nur] 
durch Hinausgehen in die [vierte] Dimension erreichen kann. 61 

So etwas ist keine Spielerei, sondern Wirklichkeit. Wenn wir 
hier die Sonne haben, und hier die Erdbahn um die Sonne, und 
hier die Mondbahn um die Erde (Figur 48), so mussen wir uns 
vorstellen, dafi sich die Erde um die Sonne bewegt und deshalb die 
Mondbahn und die Erdbahn genauso verschlungen sind [wie un- 
sere zwei Papierbander], Nun hat sich der Mond [im Laufe der 
Erdenentwicklung] von der Erde abgezweigt. Das ist eine innere 
Abzweigung, die auf dieselbe Art vor sich gegangen ist [wie die 
Verschlingung unserer zwei Papierbander zustande gekommen 
ist]. [Durch eine soiche Betrachtungsweise] wird der Raum in sich 
lebendig. 



Figur 48 




Betrachten Sie nun ein Quadrat. Denken Sie es sich so [durch 
den Raum] bewegt, daft es einen Wurfel bildet. Dann muE es in 
sich selbst vorwartsschreiten. 

Ein Wurfel ist aus sechs Quadraten zusammengesetzt, sie bil- 
den zusammen die Oberflache des Wiirfels. Um den Wurfel [in 



iibersichtlicher Weise] zusammenzufiigen, lege ich die sechs Qua- 
drate zunachst nebeneinander [in eine Ebene] (Figur 49). Ich krie- 
ge den Wiirfel wieder, wenn ich diese Quadrate aufstiilpe. Das 
sechste mul? ich dann oben drauf legen, indem ich durch die dritte 
Dimension hindurchgehe. Dadurch habe ich nun den Wiirfel aus- 
einandergelegt in zwei Dimensionen. Ich habe verwandelt ein 
dreidimensionales Gebilde durch Auseinanderlegen in ein zwei- 
dimensionales. 



Figur 49 



Denken Sie sich nun, daft die Grenzen eines Wiirfels Quadrate 
sind. Habe ich hier einen dreidimensionalen Wiirfel, so ist er be- 
grenzt von zweidimensionalen Quadraten. Nehmen wir einmal 
blofi ein einziges Quadrat. Es ist zweidimensional und wird be- 
grenzt von vier eindimensionalen Linien. Ich kann die vier Linien 
in eine einzige Dimension ausbreiten (Figur 50). Was in der einen 
Dimension erscheint, werde ich nun rot [ausgezogene Linie] ma- 
len und die andere Dimension blau [punktierte Linie] streichen. 
Jetzt kann ich, statt Lange und Breite zu sagen, von der roten und 
der blauen Dimension sprechen. 



Figur 50 



Aus sechs Quadraten kann ich den Wiirfel wieder zusammen- 
setzen. Ich gehe also jetzt iiber von der Zahl vier [der Anzahl der 



Seitenlinien des Quadrates] zur Zahl sechs [der Anzahl der Seiten- 
flachen des Wiirfels]. Gehe ich noch einen Schritt weiter, so kom- 
me ich von der Zahl sechs [der Anzahl der Seitenflachen des 
Wiirfels] zur Zahl acht [der Anzahl «Seitenwiirfel» eines vierdi- 
mensionalen Gebildes]. Ich ordne nun die acht Wurfel so an, da£ 
dadurch im dreidimensionalen Raume das entsprechende Gebilde 
entsteht zu dem fruher [aus sechs Quadraten aufgebauten Gebil- 
de] in der zweidimensionalen Flache (Figur 51). 




Denken Sie sich, ich wiirde imstande sein, dieses Gebilde so 
umzustulpen, daft ich es richtig aufdrehe und so zusammenfiige, 
daft ich mit dem achten Wurfel das ganze Gebilde zudecke, dann 
kriege ich aus den acht Wiirfeln ein vierdimensionales Gebilde in 
einem vierdimensionalen Raum. Dieses Gebilde heifk [nach Hin- 
ton] das Tessarakt. Es hat als sein Grenzgebilde acht Wurfel, ganz 
entsprechend wie der gewohnliche Wurfel als sein Grenzgebilde 
sechs Quadrate hat. Das [vierdimensionale] Tessarakt ist also von 
[acht] dreidimensionalen Wiirfeln begrenzt. 

Denken Sie sich ein Wesen, das nur in zwei Dimensionen sehen 
kann, und dieses Wesen wiirde nun die auseinandergelegten Qua- 
drate anschauen, es wiirde nur die Quadrate 1, 2, 3, 4 und 6 sehen, 
nie aber das schraffierte Quadrat 5 in der Mitte (Figur 52). Ganz 
entsprechend geht es Ihnen mit dem vierdimensionalen Gebilde. 



[Da Sie nur dreidimensionale Objekte sehen konnen, so] konnen 
Sie den verborgenen Wiirfel in der Mitte nicht sehen. 





3 




2 


IP 

wm 













Figur 52 

Denken Sie sich nun den Wiirfel so auf die Tafel gezeichnet [so 
dal$ als Umrifi ein regelmaftges Sechseck entsteht]. Das andere ist 
hinten verborgen. Dies ist eine Art Schattenbild, eine Projektion 
des Wiirfels in den zweidimensionalen Raum (Figur 53). Dieses 
zweidimensionale Schattenbild eines dreidimensionalen Wiirfels 
besteht aus Rhomben, aus schiefen Vierecken [Parallelogramme]. 
Denken Sie sich den Wiirfel aus Draht hergestellt, so wiirden Sie 
auch die hinteren Rhomben- Vierecke sehen konnen. Sie haben 
hier also in der Projektion sechs ineinandergeschobene Rhomben- 
Vierecke. Auf diese Weise konnen Sie den ganzen Wiirfel hinein- 
werfen in den zweidimensionalen Raum. 



Figur 53 




Denken Sie sich nun unser Tessarakt gebildet im vierdimensio- 
nalen Raum. Wenn Sie dieses Gebilde in den dreidimensionalen 
Raum hineinwerfen, so miissen Sie vier [sich gegenseitig nicht 
durchdringende rhombisch] verschobene schiefe Wiirfel [Parallel- 
epipede] kriegen. Einer dieser rhombisch verschobenen Wiirfel 
miifite so gezeichnet werden (Figur 54). 



Acht solche verschobenen Rhomben-Wiirfel mii£ten [aber] in- 
einandergesteckt werden, damit man im dreidimensionalen Raum 
[ein vollstandiges] dreidimensionales Bild des vierdimensionalen 
Tessaraktes erhalt. Damit konnen wir also das [vollstandige] drei- 
dimensionale Schattenbild eines solchen Tessaraktes darstellen mit 
Hilfe von acht [geeignet] ineinander geschobenen Rhomben-Wiir- 
feln. [Als Raumgebilde ergibt sich dabei ein Rhombendodekaeder 
mit vier Raumdiagonalen (Figur 55). So wie bei der Rhomben- 
Darstellung des Wiirfels je drei unmittelbar benachtbarte Rhom- 
ben gegenseitig verschoben ineinander zu liegen kommen, man 
also von den sechs Wiirfelflachen nur drei in der Projektion sieht, 
so erscheinen auch bei der Rhombendodekaeder-Darstellung des 
Tessaraktes nur vier sich nicht gegenseitig durchdringende Rhom- 
ben-Wiirfel als Projektionen der acht Grenz-Wiirfel, da je vier der 
unmittelbar benachbarten Rhomben-Wiirfel die iibrigen vier voll- 
kommen iiberdecken. 62 ] 



Figur 55 




Den dreidimensionalen Schatten eines vierdimensionalen Kor- 
pers konnen wir also konstruieren, wenn auch nicht das Tessarakt 
selbst. Im selben Sinne sind wir der Schatten von vierdimensiona- 
len Wesen. So muE der Mensch, wenn er vom Physischen zum 
Astralen steigt, sein Vorstellungsvermogen ausbilden. Denken wir 
uns ein zweidimensionales Wesen, das sich [intensiv und wieder- 
holt] bemiiht, ein solches [dreidimensionales] Schattenbild recht 
lebhaft vorzustellen. Wenn es sich dann dem Traum iiberlafk, so 
quellen dann (...). 

Wenn Sie sich aufbauen im Geiste das Verhaltnis der dritten zur 
vierten Dimension, so arbeiten in Ihnen die Krafte, die Sie in den 
[wirklichen, nicht den mathematischen] vierdimensionalen Raum 
hineinschauen lassen. 

Wir werden immer ohnmachtig sein in der hoheren Welt, wenn 
wir uns nicht hier [in der Welt des gewohnlichen Bewulkseins] die 
Fahigkeiten [des Sehens in der hoheren Welt] erwerben werden. So 
wie der Mensch im Mutterleib die Augen zum Sehen in der phy- 
sisch-sinnlichen Welt ausbildet, so muE der Mensch im Mutterleib 
der Erde [iibersinnliche] Organe ausbilden, dann wird er in der 
hoheren Welt [als Sehender] geboren. Die Ausbildung der Augen 
im Mutterleib ist ein [erhellendes] Beispiel [fur diesen Prozefi]. 

Der Wiirfel miifke aus den Dimensionen Lange, Breite und Hohe 
aufgebaut werden. Das Tessarakt miifke ich aufbauen aus den Di- 
mensionen Lange, Breite, Hohe und einer vierten Dimension. 

Indem die Pflanze wachst, durchbricht sie den dreidimensiona- 
len Raum. Jedes Wesen, das in der Zeit lebt, durchbricht die drei 
[gewohnlichen] Dimensionen. Die Zeit ist die vierte Dimension. 
Sie steckt unsichtbar in den drei Dimensionen des gewohnlichen 
Raumes darinnen. Sie konnen sie aber nur durch hellseherische 
Kraft wahrnehmen. 

Ein bewegter Punkt erzeugt eine Linie; bewegt sich eine Linie, 
so entsteht eine Flache; und bewegt sich ein Flache, so ensteht der 
dreidimensionale Korper. Lassen wir nun den dreidimensionalen 
Raum sich bewegen, so haben wir Wachstum [und Entwicklung]. 
Sie haben dadurch den vierdimensionalen Raum, die Zeit [hinein- 



projiziert in den dreidimensionalen Raum als Bewegung, Wachs- 
tum, Entwicklung]. 

[Die geometrische Betrachtung zum Aufbau der drei gewohn- 
lichen Dimensionen] finden Sie fortgesetzt im wirklichen Leben. 
Die Zeit stent senkrecht auf den drei Dimensionen, sie ist die vier- 
te, sie wachst. Wenn Sie die Zeit in sich lebendig machen, entsteht 
die Empfindung. Vermehren Sie die Zeit in sich, bewegen Sie sie 
in sich selbst, so haben Sie das empfindende Tierwesen, das in 
Wahrheit fiinf Dimensionen hat. Das Menschenwesen hat in 
Wahrheit sechs Dimensionen. 

Wir haben vier Dimensionen im Atherbereich [Astralplan], fiinf 
Dimensionen im Astralbereich [unteres Devachan] und sechs Di- 
mensionen im [oberen] Devachan. 

So quellen Ihnen die [geistigen] Mannigfaltigkeiten auf. Das 
Devachan als Schatten in den Astralraum geworfen, gibt uns den 
Astralkorper, der Astralraum als Schatten in den Atherraum ge- 
worfen, gibt uns den Atherkorper, und so weiter. 

Die Zeit geht nach einer Seite, das ist das Absterben der Natur, 
und nach der anderen ist es das Wiederaufleben. Die zwei Punkte, 
wo sie ineinander iibergehen, das sind Geburt und Tod. 

Die Zukunft kommt uns fortwahrend entgegen. Wenn das Le- 
ben bloft nach einer Richtung ginge, wiirde nie etwas Neues ent- 
stehen. Der Mensch hat auch Genie - das ist seine Zukunft, seine 
Intuitionen, die ihm entgegenstromen. Die verarbeitete Vergan- 
genheit ist [der von der anderen Seite herkommende Strom; sie 
bestimmt] das Wesen [, wie es bisher geworden ist]. 



UBER DEN MEHRDIMENSIONALEN RAUM 



Berlin, 22. Oktober 1908 

Der Gegenstand, der uns heute beschaftigen soil, wird uns man- 
cherlei Schwierigkeiten machen. Betrachten Sie den Vortrag als 
eine Episode; er wird ja auf Wunsch gehalten. Wenn man den 
Gegenstand nur formal in seiner Tiefe erfassen will, so sind einige 
mathematische Vorkenntnisse notig. Wenn man ihn aber in seiner 
Realitat erfassen will, so mufi man schon sehr tief eindringen in 
den Okkultismus. Wir konnen also heute nur sehr oberflachlich 
davon reden, nur eine Anregung geben fur diesen oder jenen. 

Es ist sehr schwierig, uberhaupt liber die Mehrdimensionalitat 
zu sprechen, weil man sich, wenn man in der Vorstellung sich eine 
Anschauung von dem machen will, was mehr als drei Dimensio- 
nen sind, sich da in abstrakten Gebieten zu ergehen hat, und da 
miissen die Begriffe sehr prazise und streng gefafk werden, sonst 
kommt man ins Bodenlose. Und dahin sind ja auch viele Freunde 
und Feinde gekommen. 

Der Begriff des mehrdimensionalen Raumes ist ja der Mathe- 
matikerwelt gar nicht so fremd, als man gewohnlich glaubt. 63 Es 
gibt in Mathematikerkreisen schon ein Rechnen mit einer mehrdi- 
mensionalen Rechnungsart. Naturlich kann der Mathematiker nur 
in einem sehr begrenzten Sinn von diesem Raum sprechen, er kann 
nur die Moglichkeit erortern. Ob er wirklich ist, kann nur der 
feststellen, der in einen mehrdimensionalen Raum hineinschauen 
kann. Hier haben wir es schon mit lauter Begriffen zu tun, die, 
wenn man sie nur genau fafit, wirklich uns Klarheit verschafffen 
iiber den Raumbegriff. 

Was ist der Raum? Man sagt gewohnlich: Um mich herum ist 
Raum, ich gehe im Raum herum - und so weiter. Wer eine deut- 
lichere Vorstellung haben will, der mufi schon auf einige Abstrak- 
tionen eingehen. Wir nennen den Raum, in dem wir uns bewegen, 
dreidimensional. Er hat eine Ausdehnung nach Hohe und Tiefe, 
nach rechts und links, nach vorne und hinten, er hat Lange, Breite 



und Hohe. Wenn wir Korper betrachten, so sind diese Korper fur 
uns in diesem dreidimensionalen Raum ausgedehnt, sie haben fur 
uns eine gewisse Lange, eine gewisse Breite und Hohe. 

Wir miissen uns aber mit den Einzelheiten des Raumbegriffes 
beschaftigen, wenn wir zu einem genaueren Begriff kommen wol- 
len. Sehen wir auf den einfachsten Korper, den Wurfel. Er zeigt 
uns am deutlichsten, was Lange, Breite und Hohe sind. Wir finden 
eine Grundflache des Wiirfels, die in der Lange und Breite sich 
gleich ist. Bewegen wir die Grundflache in die Hohe, gerade so 
weit, wie die Grundflache breit und lang ist, so bekommen Sie den 
Wurfel, der also ein dreidimensionales Gebilde ist. An dem Wurfel 
konnen wir am klarsten uns unterrichten iiber die Einzelheiten 
eines dreidimensionalen Gebildes. Wir untersuchen die Grenzen 
des Wiirfels. Diese werden iiberall gebildet von Flachen, die von 
gleich langen Seiten begrenzt werden. Sechs solcher Flachen sind 
vorhanden. 

Was ist eine Flache? Schon hier wird der straucheln, der nicht 
zu ganz scharfen Abstraktionen fahig ist. Man kann zum Beispiel 
die Grenzen nicht von einem Wachswiirfel als feine Wachsschicht 
abschneiden. Man bekame dann ja immer noch eine Schicht von 
gewisser Dicke, erhielte also einen Korper. Auf diese Weise kom- 
men wir nie zur Grenze des Wiirfels. Die wirkliche Grenze hat 
nur Lange und Breite, keine Hohe. Die Dicke ist gestrichen. Wir 
kommen also zu dem formelhaften Satze: Die Flache ist die Gren- 
ze [eines dreidimensionalen Gebildes], bei der eine Dimension 
fortfallt. 

Was ist nun die Grenze der Flache, zum Beispiel des Quadrats? 
Hier miissen wir wieder die aufierste Abstraktion nehmen. [Die 
Grenze einer Flache] ist eine Linie, die nur eine Dimension, die 
Lange, hat. Die Breite ist gestrichen. Was ist die Grenze der Linie? 
Es ist der Punkt, er hat gar keine Dimension. Man bekommt also 
jedesmal die Grenze eines Gebildes, indem man eine Dimension 
fortlafk. 

Also konnte man sich sagen, und das ist auch der Gedanken- 
gang, den viele Mathematiker gegangen sind, besonders auch Rie- 



mann, 64 der hier das Gediegenste geleistet hat: Wir nehmen den 
Punkt, der gar keine, die Linie, die eine, die Flache, die zwei, den 
Korper, der drei Dimensionen hat. Nun fragten sich die Mathema- 
tiker: Konnte es nicht so sein, dafi man rein formal sagen konnte, 
man kann noch eine vierte Dimension hinzufiigen? Dann miifke 
der [dreidimensionale] Korper die Grenze des vierdimensionalen 
Gebildes sein, wie die Flache die Grenze des Korpers, die Linie 
die Grenze der Flache und der Punkt die Grenze der Linie ist. 
Natiirlich kommt der Mathematiker dann noch weiter zu fiinf-, 
sechs- und siebendimensionalen Gebilden und so weiter. Wir ha- 
ben [sogar beliebige] «-dimensionale Gebilde [wo n eine positive 
ganze Zahl ist]. 

Nun kommt schon eine Unklarheit in die Sache, wenn wir sa- 
gen: Der Punkt hat gar keine, die Linie hat eine, die Flache zwei, 
der Korper drei Dimensionen. Wir konnen nun einen solchen 
Korper, zum Beispiel einen Wiirfel, aus Wachs, Silber, Gold und 
so weiter machen. Sie sind der Materie nach verschieden. Wir 
machen sie gleich grofi, dann nehmen sie alle den selben Raum ein. 
Lassen Sie nun alle Materie fort, so bleibt nur ein bestimmter 
Raumteil, der das Raumbild des Korpers ist, iibrig. Diese Raum- 
teile sind [alle untereinander] gleich, aus welchem Stoff der Wiirfel 
auch bestand. Diese Raumteile haben auch Lange, Breite und 
Hohe. Wir konnen uns nun diese Wiirfel unendlich ausgedehnt 
denken und kommen so zu einem unendlich ausgedehnten drei- 
dimensionalen Raum. Der [materielle] Korper ist ja nur ein Teil 
davon. 

Es fragt sich nun, ob wir ohne weiteres solche begrifflichen 
Erwagungen, die wir, vom Raume ausgehend, machen, ausdehnen 
konnen auf hohere Wirklichkeiten. Der Mathematiker rechnet bei 
diesen Erwagungen eigentlich nur, und zwar mit Zahlen. Nun 
fragt es sich, ob man das iiberhaupt darf. Ich will Ihnen zeigen, 
eine wie groEe Verwirrung schon entstehen kann, wenn man mit 
den Raumgroften zahlenmafiig rechnet. Warum? Ich brauche Ih- 
nen nur eines zu sagen: Denken Sie sich, Sie haben hier eine qua- 
dratische Figur. Ich kann diese Figur, diese Flache, nach beiden 



Seiten immer breiter machen und komme so zu einer Flache, die 
sich unbegrenzt zwischen zwei Linien ausdehnt (Figur 56). 



Figur 56 ' ' 1 1 ' 1 

Diese Flache ist doch unendlich grofi, ist also °°. Jetzt denken 
Sie sich jemand, der hore, der Flachenraum zwischen diesen bei- 
den Linien ist unendlich [grofi]. Da denkt er sich naturlich die 
Unendlichkeit. Sprechen Sie nun zu ihm von der Unendlichkeit, 
so kann er sich unter Umstanden ganz falsche Vorstellungen da- 
von bilden. Denken Sie sich, ich nehme jetzt noch unten [zu jedem 
Quadrat je eines dazu, also eine weitere Quadratreihe von] unend- 
lich vielen Quadraten, so erhalte ich eine [andere] Unendlichkeit, 
die genau doppelt so grofi ist, wie die erstere (Figur 57). Es ergibt 
sich also <*> = 2 * °«. 

Auf dieselbe Weise konnte ich bekommen: «> = 3 • «>. 

Sie konnen iiberhaupt, wenn Sie mit Zahlen rechnen, ebensogut 
die Unendlichkeit benutzen wie eine Endlichkeit. So wahr [es ist, 
daft] der Raum schon im ersten Falle unendlich war, ebenso wahr 
ist es, dafi er nachher 2 • ©o, 3 • °° und so weiter ist. Wir rechnen 
hier also zahlenmaftig. 



Figur 57 _J I I I I I I 

Wir sehen, der [sich an die zahlenmafiige Erfassung anschlie- 
lSende] Begriff der Unendlichkeit des Raumes gibt uns gar keine 
Moglichkeit, hier tiefer [in die hoheren Wirklichkeiten] ein- 
zudringen. Zahlen haben eigentlich gar keine Beziehung zum Rau- 
me, verhalten sich ganz neutral zu ihm, wie Erbsen oder irgend- 



welche anderen Gegenstande. Sie wissen ja nun, dafi sich durch 
Rechnen an der Realitat nichts andert. Hat jemand drei Erbsen, so 
kann er daran durch die Multiplikation nichts andern, wenn er 
auch richtig rechnet. [Die Rechnung] 3-3 = 9 gibt noch* keine 
neun Erbsen. Eine blofte Uberlegung andert hier nichts, und 
Rechnen ist eine blofie Uberlegung. Ebenso wie die drei Erbsen 
zuriickbleiben, [man in Wirklichkeit keine neun Erbsen erzeugt,] 
wenn auch richtig multipliziert wird, so mufi der dreidimensionale 
Raum ebenso zuriickbleiben, wenn der Mathematiker auch rech- 
net: zwei-, drei-, vier-, fiinfdimensionaler Raum. Sie werden fiih- 
len, dafi eine solche mathematische Uberlegung etwas sehr Beste- 
chendes hat. Diese Uberlegung beweist aber nur, daft der Mathe- 
matiker zwar mit einem solchen mehrdimensionalen Raum rech- 
nen konnte; [ob es aber einen mehrdimensionalen Raum tatsach- 
lich gibt, das heifk,] iiber die Giiltigkeit eines solchen Begriffes 
[fur die Wirklichkeit] kann er nichts ausmachen. Das wollen wir 
uns hier in aller Strenge klarmachen. 

Jetzt wollen wir noch einige andere Uberlegungen ins Auge 
fassen, die von Mathematikerseite sehr scharfsinnig, konnte man 
sagen, gemacht worden sind. Wir Menschen denken, horen, fuhlen 
und so weiter im dreidimensionalen Raum. Denken wir uns ein- 
mal, daft es Wesen gabe, die nur im zweidimensionalen Raum 
wahrnehmen konnten, die so organisiert waren, daft sie immer nur 
in der Flache bleiben miissen, daft sie nicht aus der zweiten Di- 
mension herauskommen konnten. Solche Wesen sind durchaus 
denkbar: sie konnen sich nur nach rechts und links [und nach 
hinten und vorne] bewegen [und wahrnehmen] und haben keine 
Ahnung davon, was oben und unten sich befindet. 65 

Nun konnte es dem Menschen in seinem dreidimensionalen 
Raum auch so gehen. Er konnte nur fur die drei Dimensionen 
organisiert sein, so daft er die vierte Dimension nur nicht wahr- 
nehmen konnte, die aber fur ihn sich ebenso hinzu ergibt, wie fur 
die anderen die dritte sich hinzu ergibt. Nun sagen die Mathema- 
tiker, das ist durchaus denkmoglich, den Menschen als solches 
Wesen zu denken. Nun konnte man aber wieder sagen, das ist nun 



auch nur so eine Auslegung. Man konnte das gewifi sagen. Aber 
hier muE man doch wieder etwas genauer zu Werke gehen. So 
einfach wie im ersten Falle [mit der zahlenmafiigen Erfassung der 
Unendlichkeit des Raumes] liegt die Sache hier doch nicht. Ich 
gebe absichtlich heute nur ganz einfache Erorterungen. 

Es ist mit dieser Schlufifolgerung nicht so, wie mit der ersten 
rein formalen [rechnerischen] Erwagung. Wir kommen hier zu 
einem Punkte, wo wir einhaken konnen. Es ist richtig, dafi es ein 
Wesen geben kann, das nur wahrriehmen kann, was in der Flache 
sich bewegt, das keine Ahnung hat, dafi es oben oder unten noch 
etwas gibt. Nun denken Sie sich einmal folgendes: Denken Sie 
sich, innerhalb der Flache wird fur das Wesen ein Punkt sichtbar, 
der naturlich wahrnehmbar ist, weil er in der Flache sich befindet. 
Bewegt der Punkt sich nur in der Flache, so bleibt er sichtbar, 
bewegt er sich aber aus der Flache heraus, so wird er unsichtbar. 
Er ware verschwunden fur das Flachenwesen. Denken wir nun, 
der Punkt tauchte nachher wieder auf, werde also wieder sichtbar, 
verschwande dann wieder und so weiter. Verfolgen kann das 
Wesen den [aus der Flache herausgehenden] Punkt nicht, aber 
sagen kann sich das Wesen: der Punkt ist inzwischen irgendwo 
gewesen, wo ich nicht hinschauen kann. Das Flachenwesen konnte 
nun ein zweifaches tun. Versetzen wir uns einmal in die Seele 
dieses Flachenwesens. Es konnte einmal sagen: Es gibt eine dritte 
Dimension, in die der Gegenstand untergetaucht ist, dann ist er 
nachher wieder aufgetaucht. - Oder es konnte auch sagen: Das 
sind ganz dumme Wesen, die von einer dritten Dimension spre- 
chen, der Gegenstand ist [in jedem Falle] immer verschwunden, 
untergegangen und [jedesmal] wieder neu entstanden. - Man miifi- 
te dann doch sagen: Das Wesen siindigt gegen den Verstand. 
Wenn es also nicht ein fortwahrendes Verschwinden und Neuent- 
stehen annehmen will, muE sich das Wesen doch sagen: Der Ge- 
genstand ist irgendwo untergetaucht, verschwunden, wo ich nicht 
hineinschauen kann. 

Ein Komet, wenn er verschwindet, geht durch den vierdimen- 
sionalen Raum. 66 



Wir sehen hier, was wir zu der mathematischen Betrachtung 
hinzufiigen miissen. Es miiftte sich im Felde unserer Beobachtun- 
gen etwas finden, was immer auftaucht und wieder verschwindet. 
Dazu braucht man gar nicht hellsehend zu sein. Ware das Flachen- 
wesen hellsehend, so brauchte es ja nicht [bloft] zu schlieften, es 
wiiftte ja aus der Erfahrung, daft es eine dritte Dimension gibt. 
Ebenso ist es fur den Menschen. Solange er nicht hellsehend ist, 
miiftte er sich sagen: Ich bleibe in den drei Dimensionen; sobald 
ich aber etwas beobachte, das von Zeit zu Zeit verschwindet und 
wieder auftaucht, so bin ich berechtigt zu sagen: hier gibt es eine 
vierte Dimension. 

Alles, was bisher gesagt worden ist, ist so unangreifbar wie nur 
irgend moglich. Und die Bestatigung ist so einfach, daft es dem 
Menschen in seinem heutigen verblendeten Zustande gar nicht 
einfallen wird, das zuzugeben. Die Antwort auf die Frage: Gibt es 
so etwas, was immer verschwindet und wieder auftaucht? - ist so 
leicht. Denken Sie einmal, es taucht eine Freude in Ihnen auf, und 
dann verschwindet sie wieder. Es ist unmoglich, daft irgend je- 
mand, der nicht hellsehend ist, sie noch wahrnehmen wird. Nun 
taucht dieselbe Empfindung durch irgendein Ereignis wieder auf. 
Nun konnten Sie, genau wie das Flachenwesen, sich in verschiede- 
ner Weise verhalten. Entweder [Sie sagen sich,] die Empfindung 
ist verschwunden irgendwohin, wo ich sie nicht verfolgen kann, 
oder aber [Sie vertreten die Ansicht, daft] die Empfindung vergeht 
und immer wieder neu entsteht. 

Es ist nun aber einmal wahr: jeder ins Unbewuftte hinge- 
schwundene Gedanke ist ein Beweis dafur, daft etwas verschwin- 
det und [dann] wieder auftaucht. Gegen alles dies ist hochstens 
folgendes einzuwenden. Wenn Sie sich bemiihen, gegen einen sol- 
chen Ihnen schon plausiblen Gedanken alles einzuwenden, was 
von einer materialistischen Anschauung eingewendet werden 
konnte, so tun Sie ganz recht. Ich will hier einmal den allerspitz- 
findigsten Einwand machen, alle anderen [Einwande] sind sehr 
leicht zu widerlegen. Man sagt sich zum Beispiel: alles wird auf 
rein materialistische Weise erklart. Nun will ich Ihnen zeigen, daft 



ganz gut innerhalb der materiellen Vorgange etwas verschwinden 
kann, was nachher wieder auftaucht. Stellen Sie sich einmal vor, 
irgendein Dampfkolben wirkt, stoftt immer nach derselben Rich- 
tung hin. Er ist als fortschreitender Kolben wahrnehmbar, solange 
die Kraft wirkt. Nehmen wir nun an, ich setze entgegen einen 
ganz gleichen, [aber] entgegengesetzt wirkenden Kolben. Dann 
hebt sich die Bewegung auf, es tritt Stillstand ein. Hier verschwin- 
det also tatsachlich die Bewegung. 

Ganz entsprechend konnte man hier sagen: Fur mich ist die 
Empfindung von Freude nichts anderes, als daft sich etwa im 
Gehirn Molekiile bewegen. Solange diese Bewegung stattfindet, 
empfinde ich diese Freude. Nehmen wir nun an, irgend etwas 
anderes bewirkt im Gehirn eine entgegengesetzte Bewegung der 
Molekiile, so verschwindet die Freude. Nicht wahr, es konnte je- 
mand, der nicht sehr weit ginge mit seinen Erwagungen, hierin 
schon einen ganz bedeutungsvollen Einwand [gegen unsere obigen 
Uberlegungen] finden. Aber sehen wir uns einmal an, wie es mit 
diesem Einwand eigentlich steht. Also genau wie eine [Kolben-] 
Bewegung durch die entgegengesetzte [Kolbenbewegung] ver- 
schwindet, so soil die [der] Empfindung [zugrundeliegende Mole- 
kiilbewegung] durch die entgegengesetzte [Molekiilbewegung] 
ausgeloscht werden. Was geschieht nun, wenn eine Bewegung des 
Kolbens die andere ausloscht? Dann verschwinden eben beide 
Bewegungen. Die zweite Bewegung verschwindet auch sofort. Die 
zweite Bewegung kann die erste gar nicht ausloschen, ohne dafi sie 
sich [dabei] selbst ausloscht. [Es resultiert ein totaler Stillstand, 
keinerlei Bewegung bleibt iibrig.] Ja, dann kann aber niemals eine 
[neue] Empfindung die [schon vorhandene] Empfindung auslo- 
schen [ohne selbst zugrunde zu gehen]. Also konnte niemals ir- 
gendeine Empfindung, die in meinem Bewulksein ist, eine ande- 
re ausloschen [ohne dabei sich selbst auszuloschen]. Es ist also 
eine ganz falsche Annahme, daft [iiberhaupt] eine Empfindung 
eine andere ausloschen konnte. [Wenn das namlich der Fall ware, 
bliebe keine Empfindung ubrig, es trate ein total empfindungs- 
loser Zustand ein.] 



Jetzt konnte hochstens noch gesagt werden, daft die erste Emp- 
findung durch die zweite ins Unterbewufttsein gedrangt wird. 
Aber dann gibt man eben zu, daft etwas besteht, was sich unserer 
[unmittelbaren] Beobachtung entzieht. 

Wir haben heute gar nicht Riicksicht genommen auf irgendwel- 
che hellseherische Beobachtungen, sondern nur von rein mathe- 
matischen Vorstellungen gesprochen. Da wir nun die Moglichkeit 
einer solchen vierdimensionalen Welt zugegeben haben, so fragen 
wir uns: Gibt es eine Moglichkeit, so etwas [Vierdimensionales] zu 
beobachten, ohne daft man hellsehend ist? - Ja, wir miissen dazu 
aber eine Art Projektion zu Hilfe nehmen. Wenn Sie ein Flachen- 
stiick haben, so konnen Sie es so drehen, daft das Schattenbild zur 
Linie wird. Ebenso konnen Sie von einer Linie als Schattenbild 
einen Punkt bekommen. Fur einen [dreidimensionalen] Korper ist 
das Schattenbild eine [zweidimensionale] Flache. Ebenso kann 
man sagen: Also ist es durchaus naturlich, wenn wir uns klar dar- 
iiber sind, daft es eine vierte Dimension gibt, daft wir sagen: [Drei- 
dimensionale] Korper sind Schattenbilder vierdimensionaler Ge- 
bilde. 



Figur 58 




Hier sind wir [nun wieder] auf rein geometrische Weise zur 
Vorstellung [eines vierdimensionalen Raumes] gekommen. [Mit 
Hilfe der Geometrie] ist dies aber auch noch auf andere Weise 
moglich. Denken Sie sich ein Quadrat, das ja zwei Dimensionen 
hat. Denken Sie sich die vier [es begrenzenden] Linien nebenein- 
andergelegt [, das heiftt abgewickelt], so haben Sie [die Grenzge- 
bilde] eines zweidimensionalen Gebildes in eine Dimension aus- 
einandergelegt (Figur 58). Gehen wir weiter. Denken Sie, wir ha- 
ben eine Linie. Gehen wir ebenso vor wie bei dem Quadrat, so 
konnen wir Sie auch auseinanderlegen, und zwar in zwei Punkte 
[und haben damit die Grenzen eines eindimensionalen Gebildes in 



null Dimensionen auseinandergelegt]. Einen Wiirfel konnen Sie 
sich auch auseinanderlegen, und zwar in sechs Quadrate (Figur 
59). Da haben wir also den Wiirfel hinsichtlich seiner Grenzen in 
Flachen auseinandergelegt, so daft wir sagen konnen: Eine Linie 
wird in zwei Punkte, eine Flache in vier Linien, ein Wiirfel in 
sechs Flachen auseinandergelegt. Wir haben hier die Zahlenfolge 
zwei, vier, sechs. 




Figur 59 



Jetzt nehmen wir acht Wiirfel. Genau wie [die obigen Abwick- 
lungen jedesmal aus] auseinandergelegten Grenzen bestehen, so 
bilden hier die acht Wiirfel das Grenzgebilde des vierdimensiona- 
len Korpers (Figur 60). Die [Abwicklung dieser] Grenzen bildet 
ein Doppelkreuz, das, konnen wir sagen, die Grenzen des regel- 
mafiigen [vierdimensionalen] Korpers angibt. [Dieser Korper, ein 
vierdimensionaler Wiirfel, wird nach Hinton Tessarakt genannt.] 




Figur 60 



Wir konnen uns also eine Vorstellung bilden von den Grenzen 
dieses Korpers, des Tessarakts. Wir haben hier dieselbe Vorstel- 
lung von dem vierdimensionalen Korper, wie das zweidimensio- 
nale Wesen sie haben konnte von einem Wiirfel, zum Beispiel 
durch Auseinanderlegen [das heifit Abwicklung] der Grenzen. 



II 



FRAGENBE ANTWORTUNGEN 
1904 - 1922 



INHALT 



Berlin, 1. November 1904 119 

Ankundigung von Vortragen iiber die vierte Dimension. 

Stuttgart, 2. September 1906 120 

Okkulte Schulung ist Arbeit am Astralleib und Atherleib. Astral- 
welt ist vierdimensional. Das Lebendige zeigt durch Wachstum 
seine vierte Dimension. Vergleich mit dem zur geraden Linie sich 
offnenden Kreis. Astralraum ist in sich geschlossen. 

Nurnberg, 28. Juni 1908 122 

Der astrale Raum ist im Gegensatz zum physischen Raum nicht 
begrenzt. Er verhalt sich wie eine in sich geschlossene (projektive) 
Gerade. Veranschaulichung durch einen zur geraden Linie sich 
weitenden Kreis. 

Diisseldorf, 21. April 1909 124 

Der Raum, okkult gedacht. Die Hierarchien und die Trinitat in 
ihrem Verhaltnis zum Raum. - Die Zeit als ein Ergebnis des Zu- 
sammenwirkens niederer und hoherer Wesen. - Der Raum ist selbst 
fur die Hierarchien etwas Geschaffenes. Der Raum ist ein Erzeug- 
nis der Trinitat. 

Diisseldorf, 22. April 1909 .126 

Umgang mit geometrischen Grundbegriffen weckt hellseherische 
Fahigkeiten. In sich geschlossene (projektive) Gerade als Beispiel 
fur astrale Verhaltnisse. 

Berlin, 2. November 1910 127 

Pflanze, Tier und Mensch als vier-, funf- bzw. sechsdimensionale 
Wesen. 

Basel, 1. Oktober 1911 128 

Licht hat Innerlichkeit als vierte Dimension. 



Miinchen, 25. November 1912 129 

Frage nach der Wirklichkeit hoherer Dimensionen. Mathematiker 
kann sich theoretisch Vorstellungen dariiber bilden. Die hohere 
Wirklichkeit ist tatsachlich mehrdimensional. Man rmifite aber eine 
bessere Mathematik haben, urn dem gerecht zu werden. Wichtig 
sind Dinge aus dem Grenzgebiet der Mathematik. Projektive Gera- 
de als Beispiel. Mathematik soli jedoch nicht iiberschatzt werden. 

Berlin, 13. Februar 1913 132 

Okkulte Bedeutung des Goldenen Schnittes. 



Berlin, 27. November 1913 133 

Im Leben nach dem Tode kommt man in ganz andere Raum- und 
Zeitverhaltnisse. Dort gehort die Geschwindigkeit, und nicht die 
Zeit, zum Gebiet des inneren Erlebens. Zeit ist abhangig von inne- 
ren Entwicklungsvorgangen. 

Stuttgart, 1919 135 

Schriftliche Fragenbeantwortung liber Mathematik. 



Stuttgart, 7. Marz 1920 136 

Lichtgeschwindigkeit und Lichtausbreitung. Mechanische Mefi- 
methoden nicht auf Licht anwendbar. Lichtausbreitung verliert sich 
nicht ins Unendliche, sondern unterliegt einem Elastizitatsgesetz. 
Probleme der Einsteinschen Relativitatstheorie vom Gesichtspunkt 
der Geisteswissenschaft. - Die Zeit ist nicht real in der Mechanik, 
sie ist eine Abstraktion; real ist nur die Geschwindigkeit. Diskus- 
sion der Geschwindigkeitsformel. Lebensdauer und Grofte eines 
Organismus sind nicht relativ oder willkiirlich. Der Relativitats- 
theorie mufi eine Absolutitatstheorie von Totalsystemen entgegen- 
gesetzt werden. 

Stuttgart, 7. Marz 1920 146 

Die nach Einsteins Theorie in einer Masse gespeicherte Energie 
kann technisch verwertet werden, wenn sie gezahmt werden kann. 
Die Einsteinsche Formel E = mc 2 ist eine Art potentielle Energie. 
Problem der Verabsolutierung rechnerischer Vorgehensweisen. 
Immanente Zeit eines Totalsystems. 



Stuttgart, 11. Marz 1920 149 

Positive und negative Zahlen als Realitat: ponderable und impon- 
derable Materie. Symbolisierung des Farbenspektrums. Positive 
Zahlen: physische Wirklichkeit; negative Zahlen: aufierraumliche, 
atherische Wirklichkeit; imaginare Zahlen: astraler Bereich; iiber- 
imaginare Zahlen: wahre Entitat des Ich. Nullteiler miissen mitein- 
bezogen werden. Mensch als Gleichgewichtszustand zwischen 
Ubersinnlichem und Untersinnlichem. Zahlensysteme auf ge- 
kriimmten Flachen. Der Begriff des Nur-Rechnungsmafiigen in der 
Mathematik. Negative und imaginare Zahlen miissen auch ohne 
Hilfe der Geometrie vorstellbar sein. 



Stuttgart, 11. Marz 1920 157 

Geometrisch-mathematische Gebiete sind Zwischenzustande von 
Urbild und Abbild. Innerlich bewegliche Auffassung der Geome- 
trie: fliefiende Geometrie. Hohere Dimensionen. Mensch als Abbild 
der geistigen Welt. Farbperspektive. Erweiterung der fliefSenden 
Geometrie durch einen Intensitatsfaktor mit Hilfe von Farben. Ste- 
reoskopisches Sehen als gleichgewichtiges Zusammenwirken von 
linkem und rechtem Auge. Lebendiges Sehen als dynamische Mitte 
von asymmetrischen Organen. 

Dornach, 30. Marz 1920 164 

Phanomenologie als Systematisierung von Phanomenen. Verhaltnis 
von Axiom und geometrischen Zusammenhangen vergleichbar mit 
Verhaltnis von Urphanomen und abgeleiteten Phanomenen. Kla- 
rung des Erfahrungsbegriffs notwendig. Entdeckung der nicht- 
euklidischen Geometrie macht deutlich, daft auch mathematische 
Satze einer empirischen Verifizierung an der Wirklichkeit bediirfen 
wie phanomenologische Urteile. 

Dornach, 31. Marz 1920 167 

Erweiterungen der Mathematik. Wirkliche Phanomenologie befalk 
sich mit dem Wesen. Mechanistischer Beherrschungstrieb schaltet 
das Wesen aus. Das Vorherrschen des Beherrschungstriebes fuhrte 
zu vielen technischen Errungenschaften, auf Kosten eines echten 
Erkenntnisfortschrittes im Sinne der Menschenerkenntnis. Goethes 
Farbenlehre. Eine Erweiterung der Betrachtungsweise erfordert 
auch eine Erweiterung des mathematischen Gebietes. Der Ather ist 
nicht materiell zu denken. Man mufi bei den mathematischen For- 



meln, wenn man in das Athergebiet hineinkommt, negative Grofien 
einsetzen. Will man iiber das Lebensgebiet hinaus, so mull man 
imaginare Grofien einsetzen. Dies konnte aus der gegenwartigen 
Misere der blofi technisch beherrschten Natur herausfiihren. 

Dornach, 15. Oktober 1920 177 

Drittes kopernikanisches Gesetz wurde zu unrecht vernachlassigt. 
Sonne bewegt sich in Wirklichkeit auf einer fortschreitenden 
Schraubenlinie. Die Erde und die iibrigen Planeten laufen ihr nach. 
Naturwissenschaft mufi den Menschen miteinbeziehen. Sonst wird 
sie nicht wirklichkeitsgemaft. Durch die Relativitatstheorie kommt 
man in Abstraktionen. Raum und Zeit sind Abstraktionen, mir die 
Geschwindigkeit ist real. - Drittes kopernikanisches Gesetz und 
Besselsche Korrekturen. Mathematisches Denken ohne Wirklich- 
keitssinn fuhrt ins Irreale. In der Mengenlehre wird die Zahl selbst 
aufgelost. Dadurch schwimmt man in Abstraktionen. - Oswald 
Spengler und «Der Untergang des Abendlandes». Mutvoll und 
wirklichkeitsgemafi aufgebaute Begriffe und Konsequenzen, die 
aber nicht zusammenpassen. Bei Hermann Keyserling gibt es nur 
ausgeprefite Worthiilsen. 

Stuttgart, 15. Januar 1921 190 

Studium der Phanomene als Fundament anthroposophischer Er- 
weiterungen. Mathematische Formeln miissen an der Wirklichkeit 
verifiziert werden. Warmelehre. Einsteins Theorie fufit auf Gedan- 
kenexperimenten. Positive und negative Vorzeichen fur leitende 
und strahlende Warme. Dazu mufi die radiale und periphere Wir- 
kungsrichtung kommen. Die anthroposophische Einstellung geht 
nicht den Phanomenen voran, sondern ergibt sich sachgemafi aus 
diesen. Wir brauchen in Zukunft eine Steigerung der wahren Wis- 
senschaftlichkeit. 



Dornach, 7. April 1921 193 

In der Mathematik werden die Dimensionen des Raumes gleich 
behandelt, sie sind vertauschbar. Unterscheidung von Unbegrenzt- 
heit und Unendlichkeit notwendig (Riemann). Begriffsbildungen 
der Metageometrie (nichteuklidische Geometrie), Gauft. Mathema- 
tischer Raum ist abstrakt: das gilt sowohl fur den euklidischen 
Raum wie fur Riemannsche oder andere Geometrie. Die Raum- 
aufassung von Kant wurde durch die Mathematik erschuttert. In 
den Ableitungen der modernen Metageometrie liegt ein Zirkel. - 



Man mull fur einen wirklichkeitsgemafien Raumbegriff von der 
menschlichen Erfahrung ausgehen. Erarbeitung der Tiefendimen- 
sion. Nicht vertauschbar mit irgendeiner anderen Dimension. Ima- 
gination fuhrt zu zweidimensionalem, Inspiration zu eindimensio- 
nalem Vorstellen. Im realen Raum sind die Dimensionen nicht ver- 
tauschbar; es gibt verschiedene Intensitaten in den verschiedenen 
Richtungen. Der starre Raum ist abstrahiert aus dem realen Raum. 
Relativitatstheorie ist logisch, aber wirklichkeitsfremd. 

Dornach, 26. August 1921 203 

Kurze Skizze der Ergebnisse geisteswissenschaftlicher Forschungen 
beziiglich der spiralformigen Erden-Sonnen-Bewegung. Die Kon- 
klusionen der meisten Weltsysteme sind einseitig. Sie erfolgen aus 
einem ganz bestimmten Gesichtspunkt. Die Sonne bewegt sich in 
einer spiralformigen Bahn, und die Erde lauft hinter ihr her. In 
Wahrheit dreht sich blofi die Blickrichtung Erde-Sonne. Alle iibri- 
gen Bewegungen sind viel komplizierter. Dritte kopernikanische 
Bewegung und ihre Vernachlassigung. 

Den Haag, 12. April 1922 207 

Abstrakte Fortsetzung des Koordinatenachsensystems fuhrt auf 
vier-, fiinf- und schliefilich «-dimensionale Raume. Hinton und der 
Tessarakt. Der Zeit als vierte Dimension liegt eine abstrakte Raum- 
auffassung zugrunde. Die vierte Dimension hebt eigentlich die dritte 
auf, und es bleiben nur zwei Dimensionen iibrig. Ebenso kommt 
man mit der funften Dimension zuriick zur ersten Dimension: die 
vierte und funfte Dimension heben die dritte und zweite Dimension 
auf. - Fur die Erklarung der Form der Bliite mufi man den Koordi- 
natenanfangspunkt in der unendlichen Sphare nehmen und zentripe- 
tal nach innen gehen. Man erhalt gleitende und schabende Bewegun- 
gen, wenn man ins Atherische kommt. - Hyperbel als Beispiel. 
Durch die synthetische Geometrie kommt man allmahlich zu einer 
konkreten und wirklichkeitsgemafien Behandlung des Raumes. 

Die Einsteinsche Relativitatstheorie ist fur den dreidimensionalen 
Anschauungsraum absolut richtig und dort nicht widerlegbar. Erst 
beim Ubergang in das atherische Gebiet sieht die Sache anders aus. 
Der Atherleib lebt im Totalraum. Beim inneren Anschauen kommt 
man zu Absolutitaten. Bei der Relativitatstheorie wird alles vom 
Zuschauerstandpunkt aus beurteilt. Hier ist sie nicht zu widerlegen. 
Erst wenn man ins Geistige kommt, hort die Giiltigkeit der Rela- 



tivitatstheorie auf, denn dort hort auch die Grenze zwischen Ob- 
jekt und Subjekt auf. 

Fiir die Erkenntnis des physischen Leibes als Raumleib und des 
Bildekrafteleibes als Zeitleib mufi man die Begriffe von Raum und 
Zeit auseinanderhalten. Meist wird die Zeit nur in Raumgrofien 
gemessen. Das ist nicht der Fall beim wirklichen Zeiterleben, das 
beim imaginativen Schauen auftritt. In einem bestimmten Zeitpunkt 
des Menschenlebens hat das Seelenleben einen zeitlichen Quer- 
schnitt; darin liegt die ganze irdische Vergangenheit des Menschen. 
Perspektive, die vom Seelenleben abhangt. Spater und Friiher han- 
gen in organischer Weise, nicht in aufSerlicher Weise wie beim 
Raumesverhaltnis, zusammen. Gefaltete Hande in der Jugend wer- 
den zu segnenden Handen im Alter. Der Zeitorganismus erschliefk 
sich erst vollstandig in der Imagination; man kann aber eine Vor- 
stellung davon gewinnen, wenn man im Seelenleben zeitliche Ab- 
laufe studiert. - Ostwald sagt: organische Prozesse sind nicht um- 
kehrbar wie die mechanischen. Beim Menschen ist das Zeitliche 
tatsachlich ein Reales, wahrend beim Mechanismus das Zeitliche 
nur eine Funktion des Raumes ist. 

Die reale Zeit ist nicht eine vierte Dimension wie beim Einstein- 
schen Kontinuum. Die Zeitwelt ist eigentlich eine Zeitebenenwelt, 
ist zweidimensional. Analogon in der projektiven Geometrie: 
Grenzebene des dreidimensionalen Raumes. Diese spielt in das hin- 
iiber, was in der imaginativen Welt Anschauung wird, Anderes 
Analogon fiir die imaginative Welt: Farbperspektive. - Zwei Di- 
mensionen werden real in der imaginativen Welt, eine in der inspi- 
rierten; die intuitive ist punktual. Dies kann aber nicht zuriick auf 
den euklidischen Raum bezogen werden. 

Dornach, 29. Dezember 1922 221 

Mathematik als Erzeugnis des menschlichen Geistes. Es ist schwie- 
rig, mit ihr die Wirklichkeit abzufangen. Ubergang einer Kugel in 
eine projektive Ebene. Konkrete Aufgabenstellung fiir Mathemati- 
ker, um aus mathematischen Vorstellungen heraus die Wirklichkeit 
abzufangen: Mathematische Erfassung des Tast- und Sehraumes 
durch die Aufstellung von Differentialgleichungen, die nach der 
Lagrangeschen Methode integriert werden miissen. Fiir Tast- und 
Sehraum erhalten die Variablen positive bzw. negative Vorzeichen. 
Die Differenz der Integrale ist nahezu Null. Durch weitere Berech- 
nungen ergeben sich die akustischen Gleichungen. Man mufi lernen, 
mit dem Rechnen in der konkreten Wirklichkeit zu bleiben. 



FRAGENBEANTWORTUNG 



Berlin, 1. November 1904 

Herr Schouten stellt einige Fragen iiber die vierte Dimension. 

Ich habe vor, iiber die vierte Dimension einen Vortrag zu hal- 
ten und mochte dann in Ankniipfung an die Ausfuhrungen des 
Herrn Schouten auch hier versuchen, eine Anschauung dieser 
vierten Dimension herbeizufuhren. Es wird besser sein, wenn 
ich dann ankniipfend an das unmittelbare Experiment iiber die 
vierte Dimension spreche. 1 



FRAGENBE ANTWORTUNG 



Stuttgart, 2. September 1906 
Frage iiber die Arbeit des Ich. 

Es gibt eine Arbeit am Astralleib, am Atherleib und am physi- 
schen Leib. Am Astralleib arbeitet jeder Mensch; alle sittliche 
Erziehung ist Arbeit am Astralleib. Selbst wenn der Mensch mit 
seiner Einweihung, mit der okkulten Schulung beginnt, hat er 
noch viel an seinem Astralleib zu arbeiten. Was bei der Einwei- 
hung beginnt, ist ein starkeres Arbeiten am Atherleib [durch die 
Pflege des] asthetischen Genusses und der Religion. Bewulk arbei- 
tet der Eingeweihte am Atherleib. 

Das Astralbewufitsein ist vierdimensional in einer gewissen 
Beziehung. Um sich eine annahernde Vorstellung davon zu ma- 
chen, sei folgendes gesagt: Was tot ist, hat die Tendenz, in seinen 
drei Dimensionen zu bleiben. Dasjenige, was lebt, geht fortwah- 
rend iiber die drei Dimensionen hinaus. Das Wachsende hat in 
seinen drei Dimensionen durch seine Bewegung die vierte darin- 
nen. Bewegt sich etwas im Kreis [und wird der Kreis dabei immer 
grofier], so kommt man endlich doch zu einer geraden Linie (Fi- 
gur 61). Wir wiirden aber mit [der Bewegung entlang] dieser Linie 
nicht mehr zu unserem Ausgangspunkt zuriickkommen [konnen], 
weil unser Raum dreidimensional ist. Auf dem Astralraum, da 
kommt man dann zuriick, weil der Astralraum von alien Seiten 
geschlossen ist. Es gibt keine Moglichkeit, dort ins Unendliche zu 
gehen. 2 

Der physische Raum ist fur die vierte Dimension offen. Hohe 
und Breite sind zwei Dimensionen, die dritte Dimension ist das 
Herausheben und Hereinbringen in die vierte [Dimension]. 3 Eine 
andere Geometrie herrscht auf dem Astralraum. 



Figur 61 



Figur 62 



FRAGENBEANTWORTUNG 



Niirnberg, 28. Juni 1908 

Frage: Da die Zeit einen Anfang genommen, liegt die Annahme nahe, da(S der 
Raum auch begrenzt ist. Wie verhalt es sich damit? 

Das ist eine sehr schwere Frage, weil bei den meisten Menschen 
heute die Elemente, die zum Verstandnis dieser Beantwortung 
notig sind, nicht entwickelt sein konnen. Es ist zu sagen, daft man 
die Antwort einfach als Mitteilung nehmen mufi; es wird schon 
die Zeit kommen, wo der Mensch das ganz verstehen wird. Der 
Raum der physischen Welt mit seinen drei Dimensionen, ist, wenn 
er von dem Menschen [bloft] gedacht wird, ein sehr illusorischer 
Begriff. Man denkt sich ja gewohnlich, daft der Raum irgendwie 
mit Brettern verschlagen, begrenzt sein miilke, oder, dafi man ihn 
ins Unendliche gehend denken mufi. 

Diese zwei Begriffe [die Unendlichkeit und die Endlichkeit 
oder Begrenztheit des Raumes] hat Kant aufgestellt und hat ge- 
zeigt, dafi man etwas fur und etwas wider diese zwei Begriffe 
vorbringen kann. 4 

Man kann aber nicht so einfach urteilen. Da ja alles Materielle 
im Raume ist, und alles Materielle eine Verdichtung im Geiste ist, 
so wird schon klar, dafi man liber den Raum nur Klarheit haben 
kann, wenn man von der gewohnlichen physischen Welt ins 
Astrale aufriickt. 

Damit ist etwas sehr Sonderbares verbunden, was unsere Ma- 
thematiker, die keine Hellseher sind, schon geahnt haben. Nam- 
lich: denken wir uns eine Gerade im Raum, so erscheint es, als 
wurde diese Gerade, wenn man sie in unserem Raume zieht, nach 
beiden Richtungen hin, nach jeder der beiden Richtungen hin ins 
Unendliche gehen. Sobald man diese Linie ins Astrale verfolgt, so 
wiirde man sehen, dafi sie im Astralen gekrummt ist, und daft man, 
wenn man nach der einen Seite hin fortlauft, auf der anderen wie- 
der zuriickkommt, so wie wenn man einen Kreis durchlauft. 5 



Wenn man den Kreis immer grofter macht, so wird die Zeit, die 
man zum Durchlaufen braucht, die zum Durchlaufen notig ist, 
immer grofter werden; endlich wird ein Snick des Kreises schon 
nahekommen einer Geraden, wenn man einen solchen Riesenkreis 
durchlaufen wollte. Und so findet man, daft es doch ein sehr 
Geringes ist von der sehr flachen Kreislinie bis zur Geraden. 

Im physischen Plan ist es unmoglich, wieder zuruckzukom- 
men; im Astralischen wiirde man auf der anderen Seite wirklich 
wieder zuriickkommen, weil namlich der Raum, insofern er in 
seinen Richtungen im Physischen gerade ist, im Astralen ge- 
kriimmt ist, und man hat also mit ganz anderen Raumverhaltnis- 
sen es zu tun, wenn man ins Astralische kommt. 6 

Es erweist sich so, daft man sagen kann: Es ist der Raum also 
nicht das illusorische Gebilde, sondern er ist eine in sich geschlos- 
sene Sphare. 7 Und das, was dem Menschen erscheint als der phy- 
sische Raum, ist nur eine Art (...) und ein Abdruck fiir den in sich 
geschlossenen Raum. 

So kann man also nicht sagen, daft der Raum irgendwo mit 
Brettern verschlagen ist, sondern: der Raum ist in sich geschlossen; 
denn man kommt immer wieder zum Ausgangspunkt zuriick. 



FRAGENBEANTWORTUNG 



Diisseldorf, 21. April 1909 

Frage: Hat man sich die geistigen Hierarchien mit dem Begriff der Raumlich- 
keit vorzustellen, da doch bei ihnen von Herrschaftsgebieten gesprochen 
wird? 

Vom Menschen konnen wir sagen, es lebt sich die Wesenheit die- 
ses Menschen innerhalb des Raumes aus. Den Raum selber mufi 
man sich aber, okkult gedacht, auch als etwas schaffend Erzeugtes 
vorstellen. Diese Erschaffung liegt vor den Arbeiten und Wirkun- 
gen der hochsten Hierarchien; wir werden den Raum also voraus- 
setzen diirfen. Nicht raumlich vorstellen aber diirfen wir uns die 
hochste Trinitat, denn der Raum ist auch ihr Erzeugnis. Die [gei- 
stigen] Wesenheiten haben wir uns aber ohne den Raum vorzu- 
stellen; der Raum ist etwas Geschaffenes. Aber die Wirkungen der 
Hierarchien in unserer Welt sind raumlich begrenzt, wie die des 
Menschen. Das, was innerhalb des Raumes sich bewegt, sind die 
anderen Hierarchien. 

Frage: 1st die Zeit anwendbar auf geistige Vorgange? 

Gewifi; aber die hochsten geistigen Vorgange beim Menschen fiih- 
ren zu dem Begriff, dafi sie zeitlos verlaufen. Die Tatigkeiten der 
Hierarchien sind zeitlos. - Von Zeit-Entstehen ist schwer zu re- 
den: in dem Worte «entstehen» ist schon der Begriff der Zeit ent- 
halten; man mulke eher sagen: das Wesen der Zeit - und daruber 
ist nicht so leicht zu sprechen. Es gabe keine Zeit, wenn alle 
Wesen auf gleicher Entwickelungsstufe stehen wiirden. Durch das 
Zusammenwirken einer Summe niederer und einer Summe hohe- 
rer Wesen entsteht Zeit. Im Zeitlosen sind verschiedene Entwicke- 
lungsgrade moglich; durch ihr Zusammenspiel wird Zeit moglich. 

Frage: Was ist der Raum? 

Man mufi sich die Trinitat vorstellen ohne den Raum, de
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